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2-teilige Quartik: Gleichungen

Auteur :Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

Nachtrag (28.04.2021) und Vereinfachung der Formeln siehe unten

Die Gleichung der oben angezeigten 2-teiligen bizirkularen Quartik lautet:
  • , für , also (*) oder , wobei invariant unter Spiegelungen an der y-Achse und am Einheitskreis ist.
Wir notieren noch die Gleichung des Leitkreises für den Brennpunkt für :
  • . 
Die Parameterdarstellung dieser Kurven wird auf den Seiten Parameterdarstellung 1 / 2 entwickelt. Bemerkungen zum Applet: 1. Bemerkenswerterweise konnte man auf diese implizite Kurve 4. Ordnung einen beweglichen Kurvenpunkt setzen! Dieser Punkt "springt" während der Animation zwischen verschiedenen, vermutlich komplexen Überlagerungen hin- und her. Er läßt sich aber auch per Maus ziehen! Damit kann man die mit-bewegten Kreise besser verfolgen. 2. Die 4 Brennpunkte auf der x-Achse können auf 3 verschiedene Weisen paarweise verbunden werden; dazu gehören 3 verschiedene Spiegelungen an der y-Achse, am Einheitskreis und die elliptische Spiegelung . Entsprechend gibt es dazu andere Brennkreise, andere doppelt-berührende Kreise und andere Leitkreise. Um das vorliegende Applet nicht zu überlasten, werden wir diese Eigenschaften im nächsten Applet zeigen. Die Quartik ist eine der konfokalen bizirkularen Quartiken mit den Brennpunkten . In der konfokalen Schar liegen zwei CASSINI-Quartiken. Rechnerische Begründung mit Hermitescher Wurzel des zugehörigen quadratischen Vektorfeldes. In Geradenkoordinaten (siehe oben das Hilfefenster "Euklidisches KOS") gilt für die Verbindungsgeraden und . Beiden Geraden können als elliptisches oder als hyperbolisches Kreisbüschel gewählt werden. Die Kreise sind dann orthogonal zu einer der beiden Achsen; und die im folgenden zu berechnenden selbstadjungierten Matrizen besitzen reelle Koeffizienten, was Voraussetzung für die Bildung Hermitescher Formen ist. Die folgende symmetrische Bilinearform definiert eine bezüglich selbstadjungierte Abbldung :
mit der Matrix . Auf der Möbiusquadrik ist durch ein quadratisches Vektorfeld gegeben, welches für alle dasselbe ist. Wir wählen aus dieser Schar diejenige selbstadjungierte Abbildung , für die ist. Wir berechnen das charakteristische Polynom von :
  • mit reellen und . (Konkrete Werte s. u.!)
Damit kann man die "Wurzeln" von erklären: . Man rechnet nach: mit einer reellwertigen Funktion (s.u.). Für eine mit , und damit auch mit vertauschbare Spiegelung in , d.h. eine involutorische Hermitesche Abbildung, ist dann eine Hermitesche Wurzel von . Mit vertauschbare Spiegelungen sind die Spiegelung an der -Achse, die Spiegelung an der -Achse, die Inversion am Einheitskreis und die elliptische Spiegelung . Die Spiegelung an der -Achse ist schnell erklärt: , insbesondere gilt im Geradenraum auf der Möbiusquadrik: . Damit können wir die Lösungskurven des quadratischen Vektorfeldes berechnen: mit einem reellwertigem, von Null verschiedenem Faktor . Um die Scheitel auf der -Achse zu ermitteln, setzen wir in die Gleichung ein und erhalten:
  • , aufgelöst nach :
Setzt man dieses von abhängige in die Hermitesche Gleichung ein, so erhält man die oben angegebene Quartik-Gleichung (*). Die CASSINI-Quartiken besitzen die Gleichungen:
  • also entsteht aus dem Kreis unter der Wurzelfunktion . Der zugehörige Leitkreis besitzt den Mittelpunkt und den Radius .
  •  
Die Rechnungen wurden wieder mit der CAS-Software DERIVE durchgeführt (siehe die Bemerkungen zu 1-teiligen Quartiken). Wir wollen noch auf die Gemeinsamkeiten der Gleichungen hinweisen; würden wir die Gleichungen der Kegelschnitte als bizirkulare Quartiken hinzunehmen, ergäbe sich vielleicht ein übergeordnetes Bild der Gleichungen! Hier die noch fehlenden Funktionen: .
Nachtrag und Vereinfachung der Formeln: Eine 2-teilige bizirkulare Quartik besitzt in Normalform eine implizite Gleichung des Typs:
  • mit Koeffizienten
Dieser Gleichung in Normalform liegen die Symmetrieen an den Koordinatenachsen und am Einheitskreis zugrunde. Die Schnittpunkte mit der -Achse erhält man mit berechnet aus . Entsprechend berechnet die -Achsenschnittpunkte; immer unter der Voraussetzung, dass die Schnittpunkte existieren. Nützlich sind oft die Schnittpunkte mit dem Einheitskreis: , sofern sie existieren. Brennpunkte: Einzelne bizirkulare Quartiken sind stets enthalten in einer Schar von konfokalen bizirkularen Quartiken. Mit erhält man das Brennpunkts-Quatrupel ; diese komplexe Berechnung liefert die Brennpunkte auch dann, wenn sie auf dem Einheitskreis liegen! Koeffizienten der konfokalen Quartiken: Da per definitionem die Brennpunkte und damit dieselben sind, findet man die konfokalen Quartiken durch die Vorgabe des Scheitels auf der -Achse, bzw. des Scheitels auf der -Achse:
  • und .

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