Differentiaalin soveltaminen
- Author:
- P Porras
Monissa käytännön tilanteissa tarkastelun kohteena on muutosnopeus eli derivaatta. Meillä voi olla tiedossa muutosnopeus mutta me emme tiedä muutosnopeuden funktiota. Voimme tuulimittarista helposti lukea, että tuulen nopeus on 9 m/s juuri tällä hetkellä mutta arvon tuottava funktio ei ole meidän tiedossa. Tiedämme siis funktion ensimmäisen derivaatan arvon ajan suhteen mutta emme derivaattafunktiota. Alla on esitetty muutamia esimerkkejä näistä tilanteista. Toivottavasti ne auttavat sinua ymmärtämään derivaatan merkityksen paremmin ja ehkäpä myös käyttämään derivaattaa hyödyksi useammin.
Esimerkki 1
Sahanpurua tulee putkesta nopeudella 1.5 m3/min. Millä nopeudella putken alla olevan sahanpurukasan korkeus muuttuu, jos kasa on ympyräkartion muotoinen ja sen leveys on kaksi kertaa kasan korkeus joka hetkellä?
Ratkaisu 1. Jos kasan leveys on kaksi kertaa kasan korkeus, niin . Sahanpurun nopeus on annettu muodossa kuutiometriä (=tilavuus) per minuutti (=aika), joten alkuperäinen yhteys saadaan tilavuudesta. Ympyräkartion muotoisen sahanpurukasan tilavuus on
.
Koska tilavuus muuttuu ajan suhteen, niin sekä säde että korkeus muuttuvat ajan suhteen. Tällöin tilavuuden kaava pitää ilmoittaa muuttujan t avulla:
.
Aiemmin jo päättelimme että kasan korkeus ja säde ovat samat, joten funktio voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmin muodossa
.
Kun tilavuus derivoidaan ajan suhteen, niin tilavuuden muutosnopeudeksi saadaan
.
Ts.
Eräällä hetkellä kasan korkeudeksi mitattiin 7 metriä. Juuri kyseisellä hetkellä korkeus muuttui nopeudella
Esimerkki 2.
Sylinterissä on ideaalikaasua. Kaasun tilavuutta voidaan säädellä siirtämällä mäntää ylös- ja alaspäin. Kaasun absoluuttisen paineen p, lämpötilan T ja kaasun tilavuuden V välillä tiedetään olevan yhteys siten että on koko ajan vakio.
Sylinteriä jäähdytetään niin, että kaasu jäähtyy 3 K/min. Kaasun paineen sylinterissä ei kuitenkaan pitäisi muuttua. Millä nopeudella ja mihin suuntaan mäntää on liikutettava sillä hetkellä, jolloin mäntä on korkeudella 175 mm ja kaasun lämpötila on 420 K?
(Kuva R. Castelnuovo)
Ratkaisu 2. Paineen muutosnopeuden on oltava nolla, koska paine ei saisi muuttua:
.
Tiedämme myös, että on vakio eli
.
Koska kaikki annetut tiedot muuttuvat ajan suhteen, niin derivointi tapahtuu ajan t suhteen.
Sylinteri on ympyrälieriön muotoinen, joten sen tilavuus saadaan kaavalla V = Ah, missä A on pohjan pinta-ala ja h kaasun korkeus eli käytännössä kuvaa, millä korkeudella mäntä on. Sylinterin pohjan pinta-ala eli kaasun pinta-ala ei muutu, joten V' = Ah'. Yhdistämällä tilavuuden muutosta kuvaavat kaavat, saadaan korkeuden muutosnopeudeksi:
.
Koska kaasua jäähdytetään, niin lämpötilan muutosnopeus on negatiivinen eli . Sijoittamalla annetut lukuarvot kaavaan saadaan
Mäntää on siis työnnettävä alaspäin nopeudella 0.021 mm/s.
Esimerkki 3.
Suppilo on suoran ympyräkartion muotoinen. Suppilon korkeus on H ja säde R. Suppiloon kaadetaan vettä vakionopeudella a. Määritä vedenpinnan nousunopeus hetkellä, jolloin veden syvyys on H/4.
Ratkaisu 3. Suoran ympyräkartion tilavuus on , missä korkeus muuttuu ajan t suhteen. Koska laskemme veden (emmekä suppilon) tilavuutta, niin säde r muuttuu myös ajan suhteen. Säde ja korkeus liittyvät toisiinsa ao. kuvan mukaisesti:
![[math] \frac{R}{H}=\frac{r}{h}\;\Leftrightarrow\; r=\frac{Rh}{H}[/math]](https://www.geogebra.org/resource/yc3ahCCn/ofRF3jSMjAycHYBt/material-yc3ahCCn.png)
Tällöin tilavuuden kaava voidaan kirjoittaa muodossa:
.
Derivoimalla se ajan suhteen saadaan korkeuden muutosnopeudeksi
.
Vedenpinnan nousunopeus on
.
hetkellä, jolloin .