Endliche Reihen
Ist (a1 , a2 , a3 ,... , an) eine endliche Folge, so bezeichnet man den Ausdruck a1 + a2 + a3 + ... + an als zu dieser Folge gehörige endliche Reihe.
Die Summe S der Folgenglieder a1 + a2 + a3 + ... + an nennt man die Summe der Reihe und schreibt:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an
Beachte den Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe:
Folge: Es werden die einzelnen Folgenglieder aufgezählt!
Reihe: Es werden die einzelnen Folgenglieder addiert.
Summe einer endlichen arithmetischen Reihe:
Satz:
Ist a1 + a2 + a3 + ... + an eine arithmetische Reihe, so gilt für ihre Summe:
S = (a1 + an)
Beweis:
k sei die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder, d.h.:
a2 = a1 + k , a3 = a1 +2.k , an-2 = an - 2.k , an-1 = an - k
Wir fassen immer das erste und das letzte, das zweite und das vorletzte, das dritte und das vorvorletzte Glied usw. von a1 + a2 + a3 + ... an-2 + an-1 + an zusammen.
a1 + an
a2 + an-1 = a1 + k + an - k = a1 + an
a3 + an-2 = a1 + 2.k + an - 2.k = a1 + an
Die beiden zusammengefassten Glieder ergeben jeweils a1 + an.
Ist n gerade, so werden Zusammenfassungen vorgenommen. Somit gilt:
a1 + a2 + a3 + ... an-2 + an-1 + an = (a1 + an)
Ist n ungerade, so werden = Zusammenfassungen vorgenommen und das mittlere Glied bleibt übrig.
wegen der konstanten Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist dies der Mittelwert von a1 und an. Somit gilt:
a1 + a2 + a3 + ... an-2 + an-1 + an = (a1 + an ) + = .
Aufgaben:
1.Berechne die Summe der folgenden Folgen:
a. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)
b. (1, 11, 21, ... , 91)
c. (-2, -4, -6, -8, ... , -22)
d. (7, 9, 11, ..., t-2, t)
2. Berechne die Summe der geraden Zahlen von 100 bis 1000.
3. In einem Hörsaal befinden sich 15 ansteigende Sitzreihen, die nach oben hin von Reihe zu Reihe um 3 Sitzplätze in ihrer Länge abnehmen. die oberste Reihe hat 10 Sitzplätze.
Wie viele Sitzplätze sind in diesem Hörsaal vorhanden?
Summe einer endlichen geometrischen Reihe
Ist die Folge (b1 ,b2 , b3 ,... , bn) eine endliche geometrische Folge, so bezeichnet man die zugehörige Reihe b1 + b2 + b3 +... + bn als endliche geometrische Reihe.
Satz:
Ist b1 + b2 + b3 +... + bn eine endliche geometrische Reihe mit n Gliedern und dem Quotienten q1, so gilt für ihre Summe S:
S =
Beweis:
Wir berechnen zuerst die Summe T = 1 + q + q2 + ... + qn-2 + qn-1:
I: 1 + q + q2 + ... + qn-2 + qn-1 = T |.q
II: q + q2 + ... + qn-2 + qn-1 + qn = T.q
Die 2. Gleichung erhält man, indem man die erste Gleichung mit q multipliziert.
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten ergibt sich:
II - I qn - 1 = T.q - T = T.(q - 1)
daher: T = .
Multipliziert man nun mit b1 , so erhält man:
S = b1 + b2 + b3 +... + bn = b1 + b1.q + b.q2 +... + b.qn-1 =
b1.(1 + q + q2 + ... + qn-2 + qn-1) = b1.
Aufgaben
1. Berechne die Summe der folgenden Reihen. Achte dabei auf die Bestimmung von n = (Anzahl der Folgenglieder)!
a. 1 + 2+ 4 + 8 + 16 + ... + 1024
b. 1 + 31 + 32 + 33 + ... + 310
c. 2 + 2b + 2b2 + ... + 2bk-1
2. Berechne den Wert der geometrischen Reihe:
a. b1 = 4, q = 3, n = 8
b. b1 = 2, q = -2, n = 11
c. b1 = 21,5, q = 0,25, n = 18.
3.Der Erfinder des Schachbretts wollte als Belohnung die Menge an Weizenkörnern, die man insgesamt erhält, wenn man auf das erste Feld des Schachbretts ein Korn, auf das zweite Feld 2 Körner und auf jedes folgende Feld doppelt so viele Körner legt wie auf das vorhergehende. Wie viele Weizenkörner würde das ergeben?