Bestemmelse af forskrift for potensfunktioner

Forfatter
Morten Engelsmann
I dette arbejdsark beskæftiger du dig med at "sende en graf for en potensfunktion gennem to punkter". Da lovlige inputs (definitionsmængden) for nogle potensfunktioner (altså 'erne i udtryk på formen ) for nogle eksponent-værdier (værdier af ) er begrænset til ikke-negative værdier (, eller blot "") og de mulige outputs (funktionens værdimængde) tilsvarende kan være begrænset til ikke-negative værdier, , skal begge punkter ligge i første kvadrant.

Eksempel / demo -- prøv at flytte P og Q

Sætning 1: Forskrift entydigt bestemt ved to punkter

Potensfunktioner er monotone (enten voksende gennem hele definitionsmængden eller aftagende gennem hele definitionsmængden). Derfor vil to punkter på funktionens graf entydigt bestemme funktionens forskrift.
Sætningen bevises ikke her.

Sætning 2: To-punkts-formlen for potensfunktioner

Hvis grafen for en potensfunktion går gennem de to punkter og , hvor , kan konstanterne a o g b bestemmes ved , hvilket er det samme som

Bevis

Med to kendte punkter kan et system af to ligninger med to ubekendte opstilles af ligningerne (I) og (II) . Vi deler nu (II) med (I), hvorved vi får. Her indses let, at b er elimineret: . Det sidste lighedstegn fås af brøk-i-potens-reglen . Vi har med en ligning "i a", fordi b er elimineret ud af ligningen og a er den eneste ubekendte. Ligningen er eksponentiel og løses derfor ved logaritmering: . Det sidste lighedstegn fremkommer ved reglen om logaritme af potens, . Nu kan eksponenten a isoleres, og vi får som ønsket. Beviset for potensfunktionens to-punkts-formel er næsten færdigt, da vi har benyttet det udtryk, hvor begge de to punkter skal bruges, udtrykket for eksponenten a. Vi går videre til at se på bestemmelsen af faktor b.

Sætning 3: Faktor b i potensfunktionens forskrift

Hvis grafen for en potensfunktion går gennem punktet , kan konstanten b bestemmes ved .
NB: Til at bestemme faktoren har man 1 punkt nødigt. Man vil altså finde samme ved at indsætte , eller koordinaterne for et hvilket som helst andet punkt på grafen.

Bevis

Med to kendte punkter kan et system af to ligninger med to ubekendte opstilles af ligningerne (I) og (II) , som for sætning 2. Koefficienten b findes ved at indsætte a i enten (I) eller (II). Her vælges (I): , som er en ligning i b, da ligningens øvrige tre størrelser er kendt. Isoleres b, fås det søgte udtryk . Beviset for potensfunktionens to-punkts-formel er nu færdigt, da vi har udtryk for både a og b udtrykt ved de to kendte koordinatpars værdier.

Nu skal du "sende" en potensfunktions graf gennem 2 givne punkter

Først beregner du og indtaster værdien med to decimaler (decimaladskiller punktum "."). Til den følgende opgave skal du yderligere finde . Endelig indtaster du punkterne og funktionsforskriften på formen i GeoGebra inputfelt.

Bestem eksponenten, a, i forskriften for potensfunktionen, hvis graf går gennem de angivne punkter:

a) (1,2) og (6,64) Indtast eksponent-værdien med to decimaler (decimaladskiller punktum ".").

Tjek dit svar

Indtegn punkterne givet ovenfor, og vis graf for potensfunktionen gennem disse

Bestem eksponenten, a, i forskriften for potensfunktionen, hvis graf går gennem de angivne punkter:

b) (25;0.04) og (54;0.0126)) Indtast eksponent-værdien med to decimaler (decimaladskiller punktum ".").

Tjek dit svar

Bestem eksponenten, a, i forskriften for potensfunktionen, hvis graf går gennem de angivne punkter:

c) (4,20) og (9,30) Indtast eksponent-værdien med to decimaler (decimaladskiller punktum ".").

Tjek dit svar

Bestem eksponenten, a, i forskriften for potensfunktionen, hvis graf går gennem de angivne punkter:

d) (5;0.16) og (10;0.04) Indtast eksponent-værdien med to decimaler (decimaladskiller punktum ".").

Tjek dit svar

Frivillig del af arbejdsarket følger herunder

En væsentlig egenskab ved potensfunktioner er hvordan denne familie af funktioner er konstant. Det beskrives i den følgende sætning. Men sammenhængen kræves ikke længere på ungdomsuddannelserne, så du kan stoppe dit hårde arbejde her - eller fortsætte, hvis det har gjort dig nysgerrig. Men har du bemærkninger til arbejdsarket, kan du stadig skrive dem i svarfeltet nederst på siden!

Sætning 4 for procentvis tilvækst i x konstant procentvis tilvækst i y

Om potensfunktionen gælder der, at hvis x øges med procentsatsen , øges y med procentsatsen og der gælder følgende sammenhæng:
, der kan omskrives til . og
Sætningens bevis skal kun antydes her. Sætningens grundtanke er, at der vil være en fast procenttilvækst, , i funktionsværdien, knyttet til en given procentvis ændring, , af input til funktionen, . Samtidig har vi jo, at funktionsværdien i "den første værdi" var

Bestem procentvis forøgelse af afhængig variabel

Vi betragter funktionen . a) Med hvor mange procent bliver y øget, når x øges med 20%? Angiv som decimaltal med to decimaler og punktum, ".", som decimaladskiller.

Tjek dit svar

Bestem procentvis forøgelse af uafhængig variabel

Vi betragter igen funktionen . b) Med hvor mange procent skal x øges, for at øge y med 40%? Angiv som decimaltal med to decimaler og punktum, ".", som decimaladskiller.

Tjek dit svar

Bestem procentvis forøgelse af afhængig variabel

a) Med hvor mange procent øges funktionen , hvis x forøges med 10%? Angiv som decimaltal med to decimaler og punktum, ".", som decimaladskiller.

Tjek dit svar

Bestem procentvis forøgelse af uafhængig variabel

Vi betragter den samme funktionen en gang til. b) Med hvormange procent skal x øges, så y øges med 40%? Angiv som decimaltal med to decimaler og punktum, ".", som decimaladskiller.

Tjek dit svar

Bestem potensfunktionens eksponent a

Om en potensfunktion vides det, at hvis x forøges med 15%, forøges med 20%. Omskriv sammenhængen , se sætning 4 ovenfor, så du får isoleret a, til at bestemme a: Indtast eksponent-værdien med to decimaler (decimaladskiller punktum ".").

Tjek dit svar

Kilder

Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergaard MAT C hhx Systime 2009

Kommentarer, rettelser, ris og ros

Er der noget, der kunne stå mere tydeligt, er der fejl eller har du andet på hjerte om arbejdsarket eller potensfunktioner?

Nye Materialer

Opdag Ressourcer

Udforsk emner