Geraden auf einer Ebene
Das Applet zeigt 3 Geraden auf einer Ebene, welche die Möbiusquadrik schneidet. Die 3 Geraden können über die Punkte E,F,...,J bewegt werden. Zu den Geraden werden ihre Pole in der Ebene sowie die Polaren im Raum angezeigt. Die Polaren im Raum gehen durch den Pol der Ebene.
Das LIE-Produkt zweier Geraden ist orthogonal zu den Geraden; es ist die Verbindungsgerade der Pole!
Drei sich schneidende komplex linear unabhängige Geraden(-vektoren) liegen entweder in einer Ebene des oder sie schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Ersteres liegt vor, wenn ihre Determinante reell ist, letzteres, wenn ihre Determinante rein imaginär ist.
Begründung: für gelte , d.h. die Vektoren repräsentieren Geradenvektoren, die sich schneiden.
Die Charakterisierung ergibt sich nun mit der Lagrangeschen Identität:, hier steht rechts die Gramsche Determinante.
Sind die Geraden koplanar, so schneidet die Ebene die Möbiusquadrik im oder sie liegt ganz außerhalb (für Berührebenen verschwindet die Gramsche Determinante); die Signatur von ist (+,-,-) bzw. (+,+,+) und damit ist die Gramsche Determinante positiv. Im zweiten Falle liegt der gemeinsame Schnittpunkt innerhalb, bzw. außerhalb der Möbiusquadrik: die Signatur ist (-,-,-) bzw. (+,+,-), die Gramsche Determinante ist negativ.
Hieraus folgt insbesondere:- Schneiden sich die Geraden , so liegen in einer Ebene.
Ein euklidisches Koordinatensystem ist eine orientierte Basis im Geradenvektorraum mit , für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen: