Gemeinsame Eigenschaften 1
Faszinierend ist es, im Raum der bizirkularen Quartiken die Möglichkeiten des kontinuierlichen Übergangs zwischen den verschiedenen Typen auszuprobieren. Dabei zeigen die Quartiken ihre gemeinsamen möbiusgeometrischen Eigenschaften. Konfokale Kegelschnitte und deren Eigenschaften erweisen sich als Spezialfall der bizirkularen Quartiken.
Als Beispiel werden wir Leitkreise, Leitgeraden möbiusgeometrisch charakterisieren: es zeigt sich, dass bizirkulare Quartiken neben den Brennpunkten durch ihre Leitkreise definiert und konstruiert werden können.
Bizirkulare Quartiken besitzen Symmetriekreise. Bezüglich eines Symmetriekreises K treten die Brennpunkte paarweise auf und in jedem Punkt p der Kurve gibt es einen doppelt-berührenden Tangentialkreis, der symmetrisch, also orthogonal zum Symmetriekreis K liegt. Der zweite Berührpunkt p' ist der Spiegelpunkt bezüglich K.
Zweiteilige Quartiken besitzen beispielsweise 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, davon ist einer imaginär. Es gibt 4 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen (in Zukunft manchmal kurz DB-Kreise genannt).
Zeichnet man einen Brennpunkt aus, oben im Applet z.B. , so stellt man experimentell überaschend fest, dass die Spiegelpunkte des Brennpunkts bezüglich der DB-Kreise jeweils auf einem Kreis liegen.
Dies sind die Leitkreise einer bizirkularen Quartik. Mit den Punkten auf den Leitkreisen kann man die DB-Kreise, die Berührpunkte mit der Quartik, sowie die Brennkreise konstruieren - und bewegen! Zum Erkunden sind die konzyklischen Brennpunkte und ein Scheitelpunkt der Quartik auf dem Kreis der Brennpunkte beweglich.
Bei achsensymmetrischen Kegelschnitten (s.u.) gibt es zur -Achse symmetrische DB-Kreise. Spiegelt man einen der Brennpunkte an einem solchen DB-Kreis, so liegt der Spiegelpunkt auf der Leitgerade des Kegelschnitts.
Der DB-Kreis ist Winkelhalbierende der beiden Brennkreise: das sind hier der Kreis durch , und den Kurvenpunkt zum einen und der "Kreis" durch den doppelt zählenden Brennpunkt in und den Kurvenpunkt zum anderen.
Die Tangente in einem Kurvenpunkt kann als DB-Kreis angesehen werden: der 2. Berührpunkt liegt in .
Spiegelt man an der Tangente, so liegt der Spiegelpunkt auf dem Leitkreis: das folgt aus der "Gärtnerkonstruktion" und der Tatsache, dass die Tangente Winkelhalbierende der Brennstrahlen ist.
Im Applet am Seitenanfang ist eine zweiteilige bizirkulare Quartik aus den konzyklischen Brennpunkten, den 3 reellen Symmetriekreisen und einem Scheitelpunkt auf dem Symmetriekreis durch die Brennpunkte konstruiert. Die Brennpunkte und der Scheitelpunkt sind beweglich.
Zunächst erhält man die anderen Scheitelpunkte mit Hilfe der Symmetrien. Die Scheitelkreise sind DB-Kreise der gesuchten Quartik: Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an diesen DB-Kreisen, so erhält man, richtig paarweise geordnet, Schnittpunkte der gesuchten Leitkreise mit der Achse . Die 3 Leitkreise sind orthogonal zur Achse , damit kann man die Leitkreise "zeichnen".
Aus den allen bizirkularen Quartiken gemeinsamen Eigenschaft, dass die Spiegelbilder des einen ausgewählten Brennpunktes bei der Spiegelung an den DB-Kreisen auf den Leitkreisen liegen, und der Tatsache, dass die DB-Kreise Winkelhalbierende der zugehörigen Brennkreise sind, kann man die DB-Kreise und die Kurvenpunkte mit Hilfe der Leitkreise konstruieren!
Die DB-Kreise können bewegt werden. Es gibt noch eine 4. Schar von DB-Kreisen, diese liegen im "Inneren" der Quartik, das meint: auf derselben Seite wie die Brennpunkte. Leitkreis ist die Achse , welche sich nicht zur Konstruktion eignet.
Versucht man, zwei der Brennpunkte zusammenfallen zu lassen, so erhält man nahezu eine Kegelschnitt-Situation, falls man sich den doppelt-zählenden Brennpunkt als vorstellt.
Bei drei Brennpunkten nahe beieinander nähert die Quartik sich der Parabel.
Beim Versuch, zwei doppelt zählende Brennpunkte herzustellen, nähert sich die Lösung zwei Kreisen eines Büschels.
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