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Gauss'sche Zahlenebene

Autor:Walter Füchte
Die Punkte ( x | y ) in der euklidischen Ebene werden mit komplexen Zahlen z = x + i y identifiziert. Nun kann man mit Punkten rechnen, insbesondere steht das komplexe Doppelverhältnis von 4 Punkten zur Verfügung. Dieses ist invariant unter gleichsinnigen Möbiustransformationen.
  • Vier Punkte liegen nur dann auf einem Kreis, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist!
  • Zwei Punktepaare liegen genau dann spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen, wenn ihr Doppelverhältnis vom Betrag 1 ist, dh. wenn das Doppelverhältnis auf dem Einheitskreis liegt.
Bewegen Sie zum Erkunden den Punkt z4. Der rote Kreis K1 geht durch z3 und ist orthogonal zum Kreis K(z1, z2, z3), die Schnittpunkte z3 , z3'' trennen z1, z2 harmonisch. Der rote Kreis K2 geht durch z1, z2 und ist orthogonal zu K(z1, z2, z3), Der Kreis K3 durch z1 und z2 ist so konstruiert, dass er orthogonal zu K2, und dass z3 in Richtung z4 gespiegelt wird; der Spiegelpunkt z3' liegt auf K1. Fallen z4, z3 und z3' zusammen, so trennen sich z1, z2 und z3, z4 harmonisch:
  • dv = -1, es gilt beides: die Punkte liegen auf einem Kreis und sie liegen paarweise spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen.
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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