Elementa I.12: Normaalin konstruointi pisteen kautta

Tekijä:
Hannu Tiitu
Eukleideen Elementan lause I.12: Normaalin konstruointi suoran ulkopuolisen pisteen kautta. Klikkaa nuolista lauseen todistus vaihe vaiheelta.
  1. On konstruoitava suoralle normaali pisteen P kautta. P ei ole suoralla.
  2. Olkoon D jokin piste, joka sijaitsee eri puolella suoraa kuin piste P.
  3. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on P ja säde PD. [P3]
  4. Olkoon pisteet A ja B suoran ja ympyrän leikkauspisteet.
  5. Konstruoidaan janan AB keskipiste G. [I.10]
  6. Piirretään janat AP, GP ja BP. [P1]
  7. Kolmiot AGP ja BGP ovat yhtenevät [I.8]: AG=BG, AP=BP saman ympyrän säteinä ja PG on yhteinen. Siis vastinkulmat AGP ja BGP ovat yhtä suuret. Koska kulmat ovat samalla yhteensä 2R, ovat molemmat kulmat suoria ja jana PG on suoran normaali.