Matriz inversa (a partir de la adjunta)

Autor:
JLF

Introducción

Sea una matriz de dimensión y regular (su determinante es distinto de 0). Entonces, existe una matriz que llamamos inversa de A y representamos por que cumple:

  • , siendo la matriz identidad de dimensión
  • la matriz inversa es única. Es decir, sólo hay una matriz que cumple el punto anterior.
Existen varios métodos para obtener la matriz inversa. Nosotros vamos a calcular la inversa mediante donde representa la matriz adjunta de ; el operador ^T (elevado a T) representa la operación transposición (matriz transpuesta); y representa el determinante de . Vamos a ver cómo calcular estos elementos que aparecen en la fórmula.

Transposición

Para cualquier matriz de dimensión . llamamos matriz transpuesta de y la denotamos por a la matriz que resulta al escribir las columnas de como filas de . Es decir, la fila i de es la columna i de . Al cambiar filas por columnas, la dimensión de es . Ejemplo

Matriz adjunta

Para cualquier matriz , llamamos matriz adjunta de y la denotamos por a la matriz cuyo elemento de la fila y la columna es

donde la matriz es la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz . Ejemplo

Ejemplos de matriz inversa

Ejemplo 1:  Calculamos los elementos de la adjunta de A:  La matriz adjunta es  Notemos que no es necesario escribir su transpuesta ya que coinciden. El determinante de A es  Por tanto, la inversa de A es  Ejemplo 2:  Calculamos los elementos de la adjunta:  La adjunta es:  El determinante de A es  Por tanto, la inversa de A es