Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion
Periodizität
Der Verlauf der Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion wiederholt sich in regelmäßigen Abständen. Die Funktionswerte stimmen überein, wenn sich die Argumente um ganzzahlige Vielfache von 2 unterscheiden.
Es gilt also:
sin x = sin (x 2) = sin (x 4) = ...
cos x = cos (x 2) = cos (x 4) = ...
Funktionen dieser Art bekommen einen eigenen Namen:
Definition
Eine reelle Funktion f: A heißt periodisch, wenn es eine positive Zahl p gibt, sodass für alle x A auch x + p A und f(x + p) = f(x) ist.
Die Zahl p heißt auch Periode der Funktion f.
Folgendes Applet veranschaulicht die Periodizität der Winkelfunktionen:
Schranken
Für die Funktionswerte der Sinuns- bzw. Cosinusfunktion gilt:
Für alle x gilt: -1 sin x 1 und -1 cos x 1
Dies kann man sowohl am Einheitskreis als auch am Graphen der Sinus- bzw. Cosinusfunktion erkennen.
Das Applet veranschaulicht diese Eigenschaft. Gib die Koordinaten der Punkte P1 und P2 an.
Monotonie
Schreibe für die Funktionen sin x und cos x die Monotonieintervalle im Bereich [] ins Heft. Verwende für diese Aufgabe das obige Applet.
Symmetrie
Bei dieser Eigenschaft sollst du feststellen, ob es sich bei den Winkelfunktionen um eine gerade bzw. ungerade Funktion handelt.
(unter demLink gerade, ungerade Funktionen findest du eine Erklärung dieser Eigenschaft.)
Du kannst diese Eigenschaft sowohl am Einheitskreis als auch am Funktionsgraphen untersuchen. Halte dein Ergebnis im Heft fest.
Einheitskreis:
Der Punkt P wird um den Winkel x (im Bogenmaß) gedreht. Der Winkel P' um -x. Untersuche den Zusammenhang zwischen sin x und sin(-x) bzw. cos x und cos(-x). Halte dein Ergebnis im Heft fest.
Symmetrieuntersuchung am Funktionsgraphen:
Du kannst die Stelle x verschieben. Vergleiche den Funktionswert der Winkelfunktionen an der Stelle x mit dem Funktionswert an der Stelle -x. Vergleiche dein Ergebnis mit dem vom Einheitskreis.
Beziehung zwischen Sinus und Cosinus
Du kannst den Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus sowohl an den Funktionsgraphen als auch am Einheitskreis untersuchen.
Funktionsgraphen:
Durch Verschiebung der Cosinusfunktion erhältst du die Sinusfunktion und umgekehrt. Untersuche mit dem Applet, wie weit du die jeweilige Funktion nach links bzw. nach rechts verschieben musst, sodass du die andere Funktion erhältst. Halte dein Ergebnis in der Form cos x = sin(x?) bzw. sin x = cos(x?) im Heft fest.
Einheitskreis:
Am Einheitskreis wird der Punkt P einmal um im Uhrzeigersinn bzw. gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Zeige, dass die beiden so entstehenden Dreiecke kongruent sind. Somit sind auch die Längen der roten und blauen Strecke gleich lang. Eine Länge ist jeweils gegeben. Wie lässt sich die Länge der jeweils anderen Strecke ausdrücken. (x bzw. x + geben jeweils den Winkel im Bogenmaß an.)