12.3 Interpretação geométrica de derivadas parciais

Sobre a interpretação geométrica de derivadas parciais, Stewart (2010), traz que uma das ideias mais principais em cálculo de funções de uma variável é que “à medida que damos zoom em torno de um ponto no gráfico de uma função diferenciável, esse gráfico vai se tornando indistinguível de sua reta tangente, e podemos aproximar a função por uma função linear. ” (STEWART, 2010, p. 848). Uma ideia semelhante pode ser desenvolvida para o ambiente tridimensional:

O próprio GeoGebra oferece a ferramenta de zoom. Na figura 1 podemos observar um plano tangente à um paraboloide e dando um zoom no gráfico podemos ver que perto do ponto o paraboloide pode ser aproximado por um plano.

Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, recordemos que a equação representa uma superfície . Se , então o ponto pertence a . Fixando o plano , nos concentramos na curva , na qual o plano vertical  intercepta . (Isto é, é a curva de interseção de com o plano .) Semelhantemente, o plano vertical  intercepta  na curva . As curvas  e passam pelo ponto . Observe que a curva  é o gráfico da função , de modo que a inclinação da tangente  em é . A curva  é o gráfico da função assim a inclinação da tangente  em  é . A Figura 2 ilustra as curvas de interseção e , bem como as retas tangentes ( e ) à essas curvas.

Suponha que a superfície S tenha equação , sendo que tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e seja um ponto em . Como dito anteriormente, sejam e curvas obtidas pela intersecção de com os planos verticais e . O ponto pertence à interseção de com . Sejam e as retas tangentes às curvas  e no ponto . Então, o plano tangente à superfície no ponto é definido como plano que contém as duas retas tangentes e . A Figura 3 mostra um plano tangente à uma superfície.

Se é uma nova curva qualquer que esteja contida na superfície e que passe pelo ponto , então sua reta tangente no ponto também pertence ao plano tangente. Por isso, podemos pensar no plano tangente a  em como o plano que contém todas as retas tangentes as curvas contidas em que passam pelo ponto . O plano tangente em é o plano que melhor aproxima a superfície perto do ponto , desde que a superfície seja diferenciável. Qualquer plano passando pelo ponto  tem equação da forma: . Dividindo essa equação por e tomando e , podemos escrevê-la como [1]. Se a Equação 1 representa o plano tangente em , sua intersecção com o plano precisar ser a reta . Tomando na equação 1, obtemos , que reconhecemos com a equação da reta (na forma de ponto, inclinação) com inclinação . E de derivadas parciais sabemos que a inclinação de é . Desse modo, . De modo semelhante, impondo na equação 1, obtemos , que precisa representar a reta tangente , logo . Suponha que tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície no ponto é dada por