Segmentos y circunferencias ortogonales
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
MNL es un triángulo equilátero cuyo baricentro es K. Las rectas MK y NL se cortan en A y las rectas LK y MN en B. c es la circunferencia determinada por M, B y A. c´ es la circunferencia determinada por M, K y N. C' y C se vuelven a cortar e D. Ω es una circunferencia de centro D que pasa por L. M’ y N’ son los inversos de M y N (respectivamente)respecto de Ω.
1. Prueba que el ángulo LM’N’ es recto.
2. Prueba que las circunferencias C y C´ son ortogonales.
Es más más sencillo empezar por el punto 2.
Los puntos A y B son los puntos medios de los lados LN y MN respectivamente. La circunferencia C tiene su centro O entonces en el punto medio del lado LM], pues este punto equidista de los tres por los que pasa, siendo el radio es la mitad del lado.
Respecto a la circunferencia C', tenemos que ∠MKN = 120°. Si O' es el centro de esta circunferencia, tenemos que O' debe estar en la perpendicular por K al lado MN y que ∠MO'N es la mitad del suplementario de ∠MKN, igual por tanto a 120°.
En consecuencia, ∠O'MO = 30° + 60°= 90° y las circunferencias C y C' son ortogonales.
Vamos ahora con el punto 1, que ya es inmediato. La circunferencia C pasa por D, el centro de inversión, por lo que su inversa es una recta, que pasará por el punto L, autoinverso por estar en Ω, y por el inverso M' de M. Es decir, es la recta LM. La circunferencia C' también pasa por D, por lo que se transforma en la recta M'N'. Como las circunferencias son ortogonales y la inversión conserva los ángulos, los segmentos LM' y M'N' también son ortogonales.