Le equazioni

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Equazioni
In questo capitolo arriveremo a scrivere le equazioni che descrivono la trasformazione del punto P tramite una rotazione di centro C e angolo α. Per poter scrivere le equazioni abbiamo bisogno di introdurre un nuovo sistema di coordinate: le coordinate polari.

Coordinate polari

Le coordinate polari sono un sistema di coordinate nel piano della forma . Ogni punto viene univocamente individuato da una coordinata radiale e una angolare, la prima rappresenta la distanza del punto da un punto fisso detto polo, la seconda identifica l'angolo che una semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo. Un sistema di coordinte polari è in corrispondenza biunivoca con un sistema di coordinate cartesiane.

Centro di rotazione coincidente con l'origine

Partiamo dalla situazione più semplice: supponiamo che il centro di rotazione C coincida con l'origine. Consideriamo il punto P di coordinate cartesiane e di coordinate polari . si ha:



Consideriamo ora il punto P’, di coordinate , immagine di P tramite una rotazione di centro l’origine e angolo α orientato positivamente. Le coordinate polari di P’ sono poichè la rotazione mantiene la distanza dal centro e l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare per sovrapporsi a quella che congiunge P' con C è pari alla coordinata angolare di P (β) più l'angolo di cui P' è ruotato rispetto a P (α) come puoi vedere dall'immagine sotto.



Per quanto appena detto quindi le coordinate cartesiane del punto P' sono:

Vogliamo evidenziare in che modo le coordinate di P' dipendono da quelle di P e dall'angolo di rotazione α. Applichiamo le formule trigonometriche e otteniamo:



Ora che abbiamo ricavato le equazioni osserva la costruzione sotto.

Ora tocca a te!

Come sono le coordiante del punto P' se P viene ruotato di 90°?

Caso generale

Per trovare le equazioni di una generica rotazione di centro C e angolo α si procede componendo una traslazione di passo -C, che porti il punto C in O, una rotazione di centro O e angolo α e una traslazione di passo C, che riporti O in C. Segui i vari passaggi aiutandoti con la costruzione riportata sotto.
Siano e le coordinate del centro C e del punto P. Passo 1 - traslazione di vettore -OC

Passo 2 - rotazione di centro O e angolo α

Passo 3 - traslazione di vettore OC

Il punto P', immagine di P tramite rotazione di centro generico C e angolo α, avrà coordinate .

Ora tocca a te!

Usando le equazioni appena trovate calcola le coordinate del punto P' ottenuto da P=(1;-2) tramite una rotazione di centro C=(-2;-4) e angolo α=180°

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