Simmetrie assiali
- Autore:
- marta.lemmi
Definizione:
Si dice che il punto P' è simmetrico di P rispetto alla retta r se PP' è perpendicolare a r e se il punto medio del segmento PP' appartiene a r, ossia se r è l'asse del segmento PP'. Si chiama simmetria assiale rispetto alla retta r, e si indica con , quella trasformazione che associa a ogni punto P del piano il suo simmetrico P' rispetto alla retta r, detta asse di simmetria.
Qui sotto trovi la costruzione del simmetrico del punto P rispetto alla retta a. Premendo sui pulsanti puoi ottenere passo passo la costruzione (vicino ad ogni pulsante è spiegato il passaggio relativo)
Qui di seguito puoi osservare l'animazione della costruzione del simmetrico Q di un punto P rispetto all'asse a.
Premendo il pulsante "Attiva Animazione" puoi avviare la costruzione, con il pulsante "Reset" riporterai tutto allo stato iniziale.
Divertiti a spostare il punto P e a muovere la retta nel piano a tuo piacimento!
Equazioni della trasformazione
Siano l'equazione della retta ,
il punto iniziale e il simmetrico di rispetto all'asse .
Le equazioni della trasformazione le otteniamo imponendo le due condizioni che definiscono la simmetria assiale, ovvero:
- il punto medio appartiene alla retta
- a retta deve essere perpendicolare ad quindi il suo coefficiente angolare deve essere
Punti fissi
I punti fissi della simmetria assiale sono tutti e soli quelli dell'asse di simmetria.
Infatti dobbiamo imporre che
ed otteniamo appunto che i punti che verificano queste uguaglianze sono quelli della retta .
Composizione di simmetrie assiali
Teorema: La composizione di una simmetria assiale con se stessa è l'identità, ovvero
Teorema: La composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti r e t equivale ad una rotazione avente centro nel punto di intersezione degli assi ed ampiezza doppia dell’angolo da essi formato, ovvero
Aiutiamoci con una costruzione GeoGebra per capire meglio che cosa accade:
Un esempio
Vediamo adesso un esempio di simmetria assiale applicata ad una figura geometrica.
Anche in questo caso puoi modificare le posizioni degli oggetti in gioco a tuo piacimento.