La chica en el espejo (exploración)

(Esta es la construcción original -en español-, posteriormente traducida -al alemán e inglés- y divulgada por el propio creador de GeoGebra, Markus Hohenwarter.) Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra La chica en el espejo. Gracias al teorema de Tales, en esta actividad podrás descubrir cuánto tiene que medir como mínimo un espejo de pared para que puedas verte enteramente al situarte frente a él. Puedes mover la chica arrastrando el círculo amarillo. La estatura de la chica es de 160 cm.
1. Activa la casilla "Rayos de luz" para ver los rayos de luz procedentes de la chica visibles por ella. Después, activa la casilla "Rayos reflejados" para ver cómo se reflejan esos rayos en el espejo dirigiéndose hacia un ojo de la chica (el otro ojo ve prácticamente lo mismo). ¿Qué está viendo la chica? Activa las dos siguientes casillas para comprobarlo. 2. Activa la casilla siguiente, "Imagen sobre el espejo". La chica ve una imagen en el espejo, como si existiese una fotografía suya en la superficie del espejo. ¿De qué altura sería esta fotografía? Recuerda que la chica mide 160 cm. No preguntamos de qué tamaño "cree ver" esa fotografía, sino qué tamaño real tendría. 3. Tal vez pienses que eso depende de la distancia que haya entre la chica y el espejo. En la construcción puedes ver que no es así. Ya esté muy cerca del espejo o muy lejos, la chica siempre verá en el espejo una imagen cuya altura es exactamente un porcentaje de su altura. ¿Cuál? Usa las herramientas de GeoGebra para comprobarlo. 4. Si no varía el tamaño de la imagen sobre el espejo, ¿por qué al alejarnos del espejo percibimos la imagen como más pequeña? 5. Activa la casilla "Ángulos". Observa que la construcción es una aplicación del teorema de Tales. Fíjate en los dos triángulos verdes que tienen como vértice su ojo. Uno de ellos tiene como lado opuesto la imagen de la chica "al otro lado del espejo" y el otro tiene como lado opuesto la imagen de la chica "en el espejo". Ambos triángulos son semejantes. ¿Por qué? 6. ¿Cuál es la proporción entre los lados de esos dos triángulos? 7. Activa la última casilla, y desactiva el resto excepto "Rayos virtuales". ¿Cómo será el área de la "imagen sobre el espejo" en comparación con el área de la chica cuya luz se refleja en el espejo? 8. Imagina que la chica tiene otro espejo que mide de altura exactamente 80 cm. ¿A qué distancia debe colocarlo del suelo en la pared para poder verse reflejada en él por completo?
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss