Potenzen, Logarithmische Spirale und chromatische Tonleiter
- Autor:
- Swanhild Bernstein
Potenzen, Logarithmische Spirale und chromatische Tonleiter
z_1 = 2^{1/12}(cos(30°) + i sin(30°)), z_m = (z_1)^m, m=0,1,2, ... , 12.
Die Spirale wird parametrisiert durch P = (2^{t/12}(cos(t*30°); 2^{t/12}sin(t*30°)) mit einer reellen Zahl t.
Dargestellt werden kann die Spirale im Bereich -25<t<30.
Die Spirale startet bei 1 auf der reellen Achse. Der Radius zoomt sich pro 30°-Drehung komtinuierlich mit dem Faktor q auf. Nach einer Umdrehung hat der Radius die Größe 2, nach einer weiteren Umdrehung die Größe 4.
Eine Umdrehung entspricht einen Oktavsprung bzw. einer Frequenzverdopplung. Der Kammerton a' hat die Frequenz 440 Hz. Mit q^{12} = 2, also q = 2^{1/12}, haben alle nachfolgenen Halbtöne die Frequenzen 440 q Hz, 440 q^2 Hz, 440 q^3 Hz, .... .
Die Spirale kann auch in die andere Richtung fortgesetzt werden.