Théorème japonais de Carnot - Démonstration

ABC est un triangle, [math]C_e[/math] son cercle circonscrit de centre O et de rayon [i]R[/i] et [math]C_i[/math] son cercle inscrit de centre I et de rayon [i]r[/i]. Cas particulier où le triangle ABC a tous ses angles aigus. Les projetés orthogonaux de O sur les côtés [BC], [AC] et [AB] sont [math]A_1, B_1, C_1[/math]. Les distances signées du centre O aux côtés du triangle sont notées par [math]d_1, d_2, d_3[/math]. La somme des distances signées du centre O aux côtés du triangle est donnée par [math]d_1 +d_2 + d_3 = R +r[/math].

[b]Démonstration Calcul de l'aire S de ABC[/b] La décomposition en trois triangles IAB, IBC et ICA autour de I donne la formule des aires [math]2S = a × r + b × r + c × r = (a + b + c) × r[/math]. De même en décomposant trois triangles OAB, OBC et OCA autour de O on a [math]2S = a × d_1 + b × d_2 + c × d_3[/math] Soit [math]a × d_1 + b × d_2 + c × d_3 = (a + b + c) × r[/math] [b]Calculs dans des triangles semblables déterminés par les hauteurs[/b] En abaissant les hauteurs [math]AH_A[/math], [math]BH_B[/math], et [math]CH_C[/math], de ce triangle, on fait apparaître trois familles de triangles semblables. Par exemple le cosinus de l'angle A des triangles rectangles semblables [math]ACH_C[/math] et [math]ABH_B[/math] et pour l'angle au centre du triangle [math]BOA_1[/math] d'angle[math] BOA_1[/math] égal à A [math]d_1/R = (AH_B/c) = (AH_C/b) = (AH_B + AH_C)/(b+c)[/math], d'où [math]d_1(b+c) = R(AH_B + AH_C)[/math]. En additionnant avec les deux relations similaires des autres familles de triangles rectangles, on obtient finalement : [math](b+c) × d_1 + (c+a) × d_2 + (a+b) × d_3 = R(a+b+c)[/math]. En ajoutant cette relation à la précédente et en simplifiant par le périmètre (a+b+c), le théorème est démontré : [math]d_1 +d_2 + d_3 = R +r[/math]. Descartes et les Mathématiques - Relations métriques du triangle [url]http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/relation_metrique.html#thm_carnot[/url] Théorème japonais de Carnot Triangle acutangle : [url]https://tube.geogebra.org/m/2488523[/url] triangle avec exactement un angle obtus :[url] https://tube.geogebra.org/m/2489021[/url] triangle rectangle : [url]https://tube.geogebra.org/m/2490381[/url]