Théorème japonais de Carnot - Démonstration

ABC est un triangle, son cercle circonscrit de centre O et de rayon R et son cercle inscrit de centre I et de rayon r. Cas particulier où le triangle ABC a tous ses angles aigus. Les projetés orthogonaux de O sur les côtés [BC], [AC] et [AB] sont . Les distances signées du centre O aux côtés du triangle sont notées par . La somme des distances signées du centre O aux côtés du triangle est donnée par .
Démonstration Calcul de l'aire S de ABC La décomposition en trois triangles IAB, IBC et ICA autour de I donne la formule des aires . De même en décomposant trois triangles OAB, OBC et OCA autour de O on a Soit Calculs dans des triangles semblables déterminés par les hauteurs En abaissant les hauteurs , , et , de ce triangle, on fait apparaître trois familles de triangles semblables. Par exemple le cosinus de l'angle A des triangles rectangles semblables et et pour l'angle au centre du triangle d'angle égal à A , d'où . En additionnant avec les deux relations similaires des autres familles de triangles rectangles, on obtient finalement : . En ajoutant cette relation à la précédente et en simplifiant par le périmètre (a+b+c), le théorème est démontré : . Descartes et les Mathématiques - Relations métriques du triangle Théorème japonais de Carnot : Triangle acutangle Triangle avec exactement un angle obtus Triangle rectangle