Quadratische Vektorfelder 1
Eine zweite quadratische Form auf erzeugt in der Möbiusebene ein quadratisches Vektorfeld:
Es sei auf neben eine zweite komplexe symmetrische Bilinearform gegeben.
Dazu gibt es eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung ,
welche zwischen den Formen vermittelt:
- .
- für Berührgeradenvektoren , das sind mit .
Das Applet soll eine der zahlreichen interessanten geometrischen Eigenschaften quadratischer Vektorfelder veranschaulichen:
Jedes quadratische Vektorfeld läßt sich als Produkt zweier linearer Vektorfelder darstellen, bei
geeigneter Normierung sogar als "Produkt" zweier Kreisbüschel.
Geometrisch bedeutet dies:
Die Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes sind die Winkelhalbierenden der Kreise
aus zwei Kreisbüscheln.
D.h.: Durch jeden Punkt der Ebene, von den Polen der Kreisbüschel abgesehen, geht je ein Kreis
aus jedem der beiden Büschel. Die Winkelhalbierenden dieser Kreise bilden zwei orthogonale Richtungen,
diese sind tangential an die Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes.
Dies erinnert nicht ohne Grund an die Situation bei konfokalen Kegelschnitten:
Die Tangenten eines Kegelschnitts sind Winkelhalbierende der Brennstrahlen, das sind die Geraden
durch je einen Brennpunkt und den Kurvenpunkt.
Möbiusgeometrisch sind das Kreise durch Brennpunkt, Kurvenpunkt und .
Konfokale Kegelschnitte bilden ein orthogonales Kurvennetz.
Tatsächlich sind Kegelschnitte und deren konfokale Netze mit ihren Eigenschaften Spezialfälle von
bizirkularen Quartiken und den aus diesen erzeugbaren konfokalen Kurvennetzen, die sich als
Integralkurven spezieller quadratischer Vektorfelder herausstellen.
Zunächst: Ist eine selbstadjungierte Abbildung auf , so gehört zu auf der
Möbiusquadrik dasselbe Vektorfeld wegen für Berührgeradenvektoren ,
eine Umnormierung bedeutet den Übergang zu Isogonaltrajektorien.
Ist ein Eigenwert und der zweidimensionale Orthogonalraum des Eigenvektors,
so läßt sich als Produkt zweier linearer Vektorfelder mit zwei Vektoren aus darstellen.
Schneller kann man die Behauptung auf folgendem Wege einsehen:
Sind in und , von der Normierung abgesehen,
die Verbindungs-geraden je zweier Nullstellenpaare, dann stimmt die quadratische Form
bis auf die Normierung mit auf der Möbiusquadrik überein.
Fallen Nullstellen zusammen, kann man die Verbindungsgeraden durch die Berührgeraden ersetzen.
Wählt man die Normierung so, dass Geraden in , also Kreisbüschel sind,
dann ist für geeignetes tatsächlich das "Produkt" zweier Kreisbüschel.
Ist ein Berührgeradenvektor mit Tangentialvektor des quadratischen Vektorfeldes ,
dh. es gilt und sind Geradenvektoren von Kreisbüscheln, dh. es ist
, so gibt es eine komplexe Zahl , so dass und
gelten.
Dreht man also um den Winkel , so ist tangential an den Kreis durch aus ,
gedreht um ist tangential an den Kreis aus .
Hieraus folgt die Erkenntnis:
- Die Tangentialvektoren des quadratischen Vektorfeldes sind die Winkelhalbierenden der beiden linearen Vektorfelder.
- Die Lösungskurven durch einen Punkt halbieren den von den Kreisen der beiden Büschel durch diesen Punkt gebildeten Winkel.