Breu manual d'us de GeoGebra
- Autor:
- Bernat
Funcions de dues variables
Quan obriu GeoGebra us trobeu amb la finestra algebraica, on aniran sortint els objectes que creeu, i la finestra gràfica. Per obrir la finestra 3D cal anar al menú Visualització i clicar a Finestra Gràfica 3D. Veiem, pas a pas, com podem definir tots els elements característics de les funcions de dues variables. Veureu que és important que li posem un nom (etiqueta) als objectes que anem dibuixant per tal de no confondrel's. Recordeu que clicant en un objecte podeu accedir a la barra d'estils per modificar-ne la grandària i el color.
- Amb l'eina
dibuixem un punt a la Finestra gràfica que el programa anomenarà A. Més endavant haurem d'introduir les seves coordenades amb la notació: x(A) i y(A). Aquest punt també surt a la finestra 3D en el pla base xOy. El punt també es pot escriure directament a la línia d'Entrada amb les seves coordenades. - La definició de la funció l'escrivim a la línia d'Entrada. Per exemple: f=x3-2x y2 . Recordeu de deixar un espai en blanc si no poseu el signe del producte. GeoGebra reconeix l'expressió com a funció de dues variables i la dibuixa a la finestra 3D.
- Per dibuixar la imatge del punt A escrivim: P=(x(A),y(A),f(A)). També podríem haver dibuixat directament un punt a sobre de la funció amb l'eina
. Aquest punt el podríem moure per la funció. En el nostre cas, per moure el punt P haurem de fer servir el punt A. - Calculem les derivades parcials de primer i segon ordre de la funció escrivint a la línia d'Entrada els comandaments següents.
- fx=Derivada(f,x)
- fy=Derivada(f,y)
- fxx=Derivada(fx,x)
- fxy=Derivada(fx,y)
- fyx=Derivada(fy,x)
- fyy=Derivada(fy,y)
- GeoGebra us dibuixarà aquestes funcions. Per ocultar-les cliqueu al punt blau que surt al costat de la funció a la finestra algebraica. Això ho podeu fer amb qualsevol altre objecte que creeu però que no voleu que es vegi.
- Podeu calcular el valor de cada una de les derivades en el punt A escrivint, per exemple, fx(A).
- Clicant primer a la finestra 3D i dibuixant els plans x=x(A) i y=y(A) podem obtenir les funcions amb valor constant de l'una de les variables com a intersecció dels dos plans amb la funció fent servir l'eina
. Caldrà clicar a la funció i al pla i obtindrem les dues corbes. - Per a les corbes de nivell el procediment és molt semblant. Primer creem un punt lliscant
(cal fer servir l'opció Nombre que surt a la finestra emergent quan cliquem a l'eina) i tot seguim escrivim z=k. Tornem a fer servir l'eina de la intersecció i surten les corbes de nivell corresponents al valor k. Veureu que podeu dibuixar un punt a sobre d'aquestes corbes i treballar també amb les coordenades d'aquest punt. - Les rectes tangents en el punt P a les dues funcions amb valor constant s'obtenen a partir de les derivades parcials de primer ordre. Les rectes passen pel punt P i tenen com a vectors directors tx=(1,0,fx(A)) i ty=(0,1,fy(A)) que definireu d'aquesta manera. Escriurem tot seguit a la Línia d'Entrada: t1=Recta(P,tx) i t2=Recta(P,ty). Les expressions d'aquestes rectes us sortiran a la finestra algebraica.
- El vector gradient, que té dues components, s'obté molt fàcilment escrivint grad=(fx(A),fy(A)).
- Per al pla tangent a la funció en el punt P escriviu: Pla(P,t1,t2).
- La derivada direccional es calcula escrivint a la Línia d'Entrada les components del vector que ens determina la direcció. Podem anomenar el vector v i el vector unitari corresponent el calcularem amb el comandament vn=Versor(v). Només ens cal, tot seguit, calcula el producte escalar d'aquest vector amb el vector gradient amb l'expressió ddir=grad vn. Observeu que no cal posar cap símbol entre els dos vectors per calcular el producte escalar.
- Per dibuixar les funcions amb valor constant de l'una de les variables a la finestra gràfica hem d'escriure: f1=f(x(A),x) i f2=f(x,y(A)). Cal posar la lletra x en ambdós casos perquè GeoGebra ho identifiqui com a funcions d'una variable. Tot seguit dibuixem els punts P1=f1(x(A),f(A)) i P2=f2(y(A),f(A)) que es situen en cada una de les funcions i podem dibuixar les rectes tangents utilitzant l'eina
amb el corresponent pendent amb l'eina 
. - Per a les rectes tangents a les corbes de nivell en el punt A ens caldrà definir el vector u=(-fy(A),fx(A)). Dibuixarem la corba de nivell en el punt A amb l'expressió CorbaImplícita(f(x,y)-f(A)) i escriurem Recta(A,u).
- Podem dibuixar totes les corbes de nivell entre dos valors donats, per exemple -5 i 5, amb un interval igual a 0,5 amb l'expressió: Seqüència(CorbaImplícita(f(x,y)-k),k,-5,5,0.5). Per a l'interval podem fer servir un punt lliscant.