Límit d'una funció en un punt - continuïtat

Tema/es:
Funcions, Límits
Fixa't en el següent applet. Tens la pantalla dividida en tres trossos:
  • A l'esquerra pots introduir, en una casella d'entrada, la funció que vulguis i el punt on vols fer l'estudi. Automàticament se't donaran el límits laterals de la funció en el punt.Fixa't que per introduir una funció a trossos en GeoGebra tan sols cal que empris la comanda Si[domini del 1r tros, funció, domini del 2n tros, funció,...]
  • Al centre tens la gràfica de la funció. Allà pots veure com es comporta f a l'entorn del punt on has decidit estudiar-la.
  • A la dreta tens una taula de valors.

1. El límit d'aquesta funció f(x)=Si[x<0, x+1, x>=0, x2] quan x tendeix a 0 ...

Marqueu on calgui

2. Per a què el límit d'una funció qualsevol existeixi en x=a cal...

Marqueu on calgui

3. La funció presenta en x=0 una discontinuïtat...

Marqueu on calgui

4. Canvia la funció posant aquesta: f(x)=Si[x<0, x+1, x>0, x2] . Explica quines modificacions s'han produït respecte a la funció anterior pel que fa:

  • al valor dels límits laterals en x=0
  • a l'estudi de la continuïtat de f en el mateix punt

5. Ara modifica el valor del punt per x=-1. Quin és el valor del límit de la funció en aquest punt?

6. Estudia, a partir de l'applet, la funció f(x)=(x2-4x+3)/(x-1) en x=1.

  • Existeix el límit de la funció en x=1? Per què?
  • Existeix f(1)?
  • Per a tots els valors diferents de x=1, quin tipus de funció ens ha sortit? Per què creus que ha passat això?
  • Estudia la continuïtat de f en x=1. Què cal que succeeixi perquè una funció real de variable real sigui contínua en un punt x=a? Quin tipus de discontinuïtat presenta f en x=1?

7. Estudia la funció f(x)=Si[x<-1, 1/(x+1), x>=-1, 2-0.5x2] en el punt x=-1.

  • Quin és el domini d'aquesta funció?
  • Observant els límits laterals de f en x=-1, quin és el valor del límit de f en x=-1?
  • Estudia la continuïtat de f en x=-1.

8. Quan una funció presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=a?

Marqueu on calgui
9. Defineix i representa una funció que tingui una discontinuïtat evitable en x=-3, una de salt en x=0 i una asimptòtica en x=2.
10. Defineix i representa una funció que tingui per domini tots els reals i tingui una asímptota vertical, una horitzontal i una obliqua.