A Heisenberg-féle határozatlansági reláció bevezetése

Szerző:Istvan Muskovits, geomatech_tsimon, Bracsok Norbert

A szimuláció bemutatja a Heisenberg-féle réses gondolatkísérletet, ami a határozatlansági reláció megfogalmazásához vezetett.

Van egy d szélességű réssel ellátott ernyőnk, melyre elektronnyalábot bocsájtunk. Ehhez az ernyőhöz egy Descartes-féle koordináta-rendszer y tengelyét rögzítjük oly módon, hogy iránya a rés szélességének irányával egyezzen meg, x tengelye pedig merőleges az ernyőre, amit a szimulációban is megfigyelhetsz.

A szimuláció segítségével valósítsd meg a Heisenberg-féle réses gondolatkísérletet! Az elektron helyének bizonytalanságát a rés d szélességének állításával tudod változtatni, míg impulzusának (lendületének) bizonytalanságára az elhajlási képből következtethetsz. A kísérlet számszerű eredményeit megtalálod a szimuláció alatti táblázatban is.

1. feladat

Mit tapasztalsz, mi történik a résen áthaladó elektronnyalábbal?

2. feladat

Tegyük fel, hogy kezdetben minden elektron csak x irányú impulzussal rendelkezett. A résen való áthaladás alkalmával egyes elektronok megváltoztatják mozgási irányukat, és így lendületüket. Hogyan változik ez a réssel, mint mérőberendezéssel való kölcsönhatás után?

3. feladat

Az elektron „helyét” a résen való áthaladás pillanatában úgy lehet meghatározni, hogy megadjuk a rés helyét a mérőberendezés többi részéhez képest, ily módon az elektron helye (pontosabban helyének y koordinátája) a résen való áthaladás pillanatában Δy = d határozatlansággal ismeretes. Változtasd meg a rés szélességét!

a) Hogyan befolyásolja ez a részecske helymeghatározásának pontosságát? b) A rés szélességének változtatásával változik az elhajlási kép. Hogyan?

c) A rés szélességének csökkentésével hogyan változik meg az lendület meghatározásának Δp_y bizonytalansága? (Δp_y mértékére az elhajlás mértékéből tudsz következtetni.)

4. feladat

A szimuláció alatti táblázatban megtalálod a különböző résszélességekhez tartózó lendületbizonytalanságokat (főmaximum). Határozd meg a Δy Δp_y szorzat nagyságát az egyes esetekben! Mit tapasztalsz?

5. feladat

a) Vezesd le a táblázat segítségével megkapott összefüggést! Ehhez elevenítsd fel korábbi ismereteidet!

Hogyan határozható meg a mikrorészecskék lendülete a hozzájuk rendelt de Broglie-hullám hullámhosszának segítségével?
Határozd meg a Δp_y lendületbizonytalanságot az x tengely és az első elhajlási minimumhoz tartozó irány által bezárt szög (α), valamint a p impulzus segítségével!
A mikrorészecskék impulzusára vonatkozó összefüggést helyettesítsd be a lendületbizonytalanságra kapott összefüggésbe!

b) Résen való elhajlás esetén mi a feltétele az első minimumhely kialakulásának? c) Szorozd össze az a) feladatrész végén és a b) feladatrészben kapott egyenleteket! Mit kapsz eredményül?

d) Hogyan változik az összefüggés, ha nem csak a főmaximumot vesszük figyelembe?

6. feladat

Milyen következtetést tudunk levonni az összefüggésből?

Kapcsolódó érdekességek

A határozatlansági reláció korlátozó szerepét vizsgálva makro- és mikrorészecskék esetén a

és a

összefüggésekből azt kapjuk, hogy

Ekkor, ha

kg, azaz 1 g (egy ásványvizes palack rövidmenetes műanyag kupakja körülbelül 1 g tömegű), és

m, ami tökéletesen elegendő pontosság, akkor a fentiek szerint

m/s,

vagyis a sebesség határozatlansága nagyságrendekkel kisebb az elérhető mérési pontosságnál.Tehát makrorészecskék esetén a határozatlansági reláció nem játszik szerepet. Ellenben,ha

kg (ami közelítőleg az elektron tömege), és

m, mivel az atomok nagyságrendje

m, így legalább ekkora pontosság szükséges, akkor

m/s,

ami egy nagyságrenddel nagyobb egy 10 eV energiájú elektron sebességénél. Belátható tehát, hogy a Bohr-féle elektronpályák bevezetése értelmét vesztette, illetve, hogy mikrorészecskék esetén a határozatlansági relációnak döntő szerepe van.

Érted a viccet?

Heisenberg épp kocsival tartott valahová, amikor megállította egy rendőr. – Tudja maga mennyivel hajtott? Erre Heisenberg: – Nem, de tudom, hol voltam! Bár csak egy vicc, de nagyon jól illusztrálja azt az összefüggést, melyet a szimuláció segítségével te is megismertél.