Implisiittinen derivointi
- Author:
- P Porras
Joskus voi olla mahdotonta antaa funktio y muodossa y(x). Esimerkiksi yhtälö (esimerkki 1)
voidaan piirtää -tasossa etsimällä sopivat pisteparit mutta yhtälöä ei voida määrittää funktiona. Kuvaajan perusteella voimme sanoa, että y muuttuu x:n funktiona. Tällöin sanotaan, että funktio y on implisiittisesti määritelty muuttujan x ehdoilla.
Esimerkki 2. Määritetään tangenttisuora yhtälön pisteeseen (4, -2).
Tapaus 1:
Tässä tapauksessa meidän on osattava valita oikea funktio kuvaamaan annetun käyrän pistettä (4, -2). Koska annetun pisteen y-arvo on negatiivinen, on käytettävä funktiota .
Derivoimalla ko. funktio muuttujan x suhteen saadaan
eli kulmakerroin on . Tällöin tangenttisuoran yhtälö on
.
Tapaus 2. Meille on varmasti tiedossa, että jokaisella pisteparilla on yhteys . Jos muuttujan x arvoa muutetaan, niin muuttujan y arvo muuttuu samassa nopeudella. Koska muutosnopeus saadaan derivaatan avulla, niin yhtälön molempien puolien derivaatat täytyvät olla yhtä suuret:
Yllä derivointi tapahtui muuttujan x suhteen, koska y oletetaan muuttujan x määrittämäksi yhtälöksi. Vieläkään emme tiedä funktion tai derivaatan lausekkeita mutta muutosnopeus on laskettavissa tunnettujen pisteiden avulla.
Tällöin kulmakerroin on
Tapauksessa 1 meidän oli tiedettävä oikea funktio oikein mutta tapauksessa 2 tulos saatiin suoraan annetun pisteen avulla.
Esimerkki 1 (jatkuu). Yksi yhtälön toteuttava piste on (1, 1), joten voimme muodostaa tälle pisteelle tangenttisuoran yhtälön. Koska yhtälö toteutuu kaikilla pisteillä , niin myös vasemman ja oikean puoleisten derivaattojen on oltava yhtä suuret:
.
Derivoitaessa on muistettava, että y on tuntematon funktio eli sen sisäosan derivaatta on huomioitava. Tällöin,
.
Tästä derivaatta saadaan helposti ratkaistua:
.
Sijoittamalla annetun pisteen koordinaatit saadaan tangenttisuoran kulmakerroin:
Tangenttisuoran yhtälö pisteessä (1, 1) on