Un nuovo modello di andamento delle quantità

Finora abbiamo studiato alcune leggi che descrivono diversi modelli di cambiamento delle quantità. Una delle principali tra quelle che abbiamo visto è quella dell'andamento lineare o proporzionalità lineare, che descrive situazioni in cui la variazione è costante in termini assoluti. Ad esempio se ho 500€ e per ogni ora di lavoro guadagno 20€, il denaro totale in mio possesso aumenta linearmente, perché ad una fissata variazione della variabile indipendente (lavoro 1 ora in più) corrisponde sempre una stessa variazione della variabile dipendente (il mio patrimonio aumenta di 20€). Si parla di andamento lineare perché la relazione è rappresentata sul piano da una retta. Vediamo ora un diverso tipo di andamento, altrettanto importante, in cui la variazione è ancora costante ma in termini relativi.
Proviamo a fare il punto, e nel frattempo vediamo qualche altro esempio LA FUNZIONE LINEARE (LA RETTA) Una funzione lineare indica una variazione ASSOLUTA costante, cioè a parità di variazione dell'input , il risultato varia sempre della stessa quantità. ESEMPIO: se metto in banca 2000€ e mi vengono dati 200€ di interessi all'anno. Il mio patrimonio totale al passare degli anni è dato da .
  • indica la situazione iniziale, in questo caso il mio patrimonio all'anno , infatti
  • indica la velocità ASSOLUTA con cui varia la grandezza in esame, in questo caso il mio patrimonio aumenta di 200€ ogni anno, in fatti dopo anni ho euro in più.
LA FUNZIONE ESPONENZIALE Una funzione esponenziale indica una variazione RELATIVA costante, cioè a parità di variazione dell'input , la variabile dipendente cambia di una frazione (o percentuale) costante del valore assunto in quel momento. ESEMPIO 1: In un bosco ci sono 4000 piante ma un'epidemia fa sì che ogni anno ne muoia la metà. La quantità ASSOLUTA di piante che sparisce ogni anno NON è costante, perché ogni anno il numero di alberi diminuisce della metà (cioè il 50%) di quelli presenti quell'anno . Riformuliamo il problema concentrandoci sulle piante che restano: se ne muore la metà, ne resta l'altra metà, possiamo verificare che il numero di piante dopo anni è dato dalla funzione
  • indica la situazione iniziale, in questo caso il numero di piante all'anno , infatti
  • indica la variazione RELATIVA della grandezza in esame, in questo caso ogni anno rimane , cioé il , delle piante presenti l'anno precedente. Dopo un anno ci sono piante cioè la metà di quelle presenti all'inizio, dopo 2 anni ce ne sono , cioè la metà di quelle presenti l'anno prima: . E così via: . In generale dopo ci sono piante, cioè il numero delle piante è dimezzato volte.
UN ESEMPIO PIÚ COMPLESSO: VARIAZIONI PERCENTUALI (E/O FRAZIONARIE) Abbiamo visto che la funzione esponenziale descrive andamenti in cui la variazione relativa della quantità è costante: nel primo esempio ogni anno rimaneva la metà delle piante dell'anno precedente. Possiamo generalizzare e studiare un andamento in cui la variazione sia una frazione (o una percentuale, dato che sono la stessa cosa) qualsiasi della quantità di riferimento. ESEMPIO 2: Metto 2000€ in banca ed ogni anno mi danno il 10% di interesse. Prima di capire come la si ottiene, lo vedremo più sotto in questo paragrafo, verifichiamo che l'andamento del mio patrimonio è caratterizzato in modo simile al caso precedente: , dove
  • indica la situazione iniziale, in questo caso il mio patrimonio all'anno , infatti
  • è li fattore moltiplicativo che indica la variazione relativa che subisce la grandezza in esame. Ogni anno infatti il mio patrimonio è il del patrimonio dell'anno precedente.
Vediamo ora un ragionamento un po' più articolato per consolidare la nostra comprensione di come si ottiene questo tipo di andamento. Costruiamo una tabella con i valori per alcuni anni:
Anni trascorsiPatrimoniocalcolo interessi
02000nessun interesse ancora maturato
1220010% di 2000=200
22200+220=242010% di 2200=220
32420+242=266210% di 2420=242
Come si vede la variazione percentuale, cioè relativa, è sempre costante, ma ogni volta si tratta della percentuale di una quantità differente, cioè dei soldi in banca all'inizio di quell'anno, e quindi la variazione assoluta cambia sempre. Vediamo che un andamento di questo tipo è descritto da una funzione di tipo esponenziale. Alla fine del primo anno guadagno il 10% di 2000; il patrimonio dopo un anno è quindi Aumentare una quantità del 10% equivale quindi a moltiplicarla per un fattore moltiplicativo . [posso fare l'ennesima verifica: se applico la distributiva mi accorgo che moltiplicando per ottengo il patrimonio iniziale, mentre moltiplicando per ottengo gli interessi ]. Posso svolgere i calcoli e trovare che il fattore moltiplicativo vale . Il risultato è coerente: , cioé il primo anno ho accumulato il 110% di quanto avevo all'inizio. Alla fine del secondo anno guadagno il 10% di quanto ho accumulato fino a quel momento, cioè di ; in tutto ho quindi il 110% di , posso scrivere che - sostituisco l'espressione di ed ottengo , cioè Il ragionamento prosegue in modo analogo: alla fine del terzo anno guadagno il 10% di quanto avevo alla fine del secondo anno, cioè di , e quindi ho il 110% di . Ottengo cioè , e così via. Abbiamo quindi confermato la funzione iniziale: dopo anni ho quindi , dove
  • indica la situazione iniziale, in questo caso il mio patrimonio all'anno , infatti
  • è li fattore moltiplicativo che indica la variazione relativa che subisce la grandezza in esame. Può essere espresso mettendo in evidenza la variazione relativa come : abbiamo visto che l'1 è associato al mantenimento della quantità iniziale e indica la variazione relativa (che può essere positiva o negativa) in termini di frazione e/o percentuale. Nel nostro esempio avevamo , che sono tutte forme equivalenti di .
Nei grafici sotto si può vedere come l'andamento esponenziale aumenti in modo molto più rapido di quello lineare: la funzione di quest'ultimo esempio viene confrontata con quella del primo esempio fatto di andamento lineare.
Confrontando le funzioni con un opportuno zoom si può vedere che la curva esponenziale dopo breve sale [i]molto[/i] più rapidamente di una retta.
Confrontando le funzioni con un opportuno zoom si può vedere che la curva esponenziale dopo breve sale molto più rapidamente di una retta.
"RICONOSCERE L'ANDAMENTO DEI DATI Ripetiamo per l'ennesima volta la differenza tra andamento lineare ed esponenziale:
  • nell'andamento lineare a parità di variazione delle si ha una variazione assoluta costante delle
  • nell'andamento lineare a parità di variazione delle si ha una variazione relativa costante delle
Abbiamo compreso veramente bene questo concetto se sappiamo riconoscere i due andamenti partendo da dati concreti. Vediamo il seguente esempio. ESEMPIO 3 In un parco naturale ci sono tre gruppi di caprioli che vengono tenuti in condizioni differenti; a partire da un certo anno viene registrata la popolazione di ognuno dei tre gruppi. Utilizzando i dati riportati sotto, fai una previsione sulla popolazione di ognuno dei tre gruppi a dieci anni dall'inizio del monitoraggio. GRUPPO 1
annopopolazione
33000
43300
53600
74200
GRUPPO 2
annopopolazione
33000
43300
53630
74392
GRUPPO 3
annopopolazione
33000
43390
53831
74523
Partiamo dal gruppo 1. Nel primo anno in cui sono stati rilevati i dati (anno 3-4) la variazione è stata di unità. Poiché anche nella seconda annualità (anno 4-5) si ha una variazione pari a caprioli, la variazione assoluta (in questo caso 300 caprioli) in un dato intervallo (in questo caso annuale) sembra essere costante. Lo verifichiamo con l'ultimo periodo, che essendo il doppio degli altri (anni 5-7), dovrebbe portare ad una variazione doppia, ed infatti . Il gruppo 1 ha quindi un andamento lineare, che è descritto dalla funzione : Per trovare imponiamo che al terzo anno ci siano caprioli: Per fare una previsione sulla popolazione dopo anni quindi basta valutare:

SPUNTO DI RIPASSO

In quale altro modo puoi ottenere la forma della funzione in modo che indichi il numero di caprioli dopo che sono trascorsi anni dall'anno ?

Vediamo ora il gruppo 2. La variazione nella prima annualità (anno 3-4) è la stessa del primo gruppo, ma quella della seconda è diversa. Quindi possiamo escludere un andamento lineare. Verifichiamo se la variazione relativa è costante. Nell'anno tra il terzo ed il quarto abbiamo il della quantità presente al terzo anno. Quindi in questo anno i caprioli sono aumentati del (o di , che è la stessa cosa) Nell'anno tra il quarto ed il quinto abbiamo il della quantità presente al quarto anno. Anche in questo caso in un anno sono aumentati del , la stessa variazione relativa, e quindi sembra che vi sia un andamento esponenziale. Verificare la coerenza dell'ultimo dato è un po' meno immediato. Nei due anni tra i 5 ed il 7 la popolazione deve essere aumentata del 10% per due volte, cioè deve essere Dato che i caprioli possono essere solo interi, il risultato registrato di 4392 è un'ottima approssimazione dell'andamento, che quindi può essere ritenuto esponenziale.

SPUNTO DI RIFLESSIONE

In questi due anni quanto è stato l'aumento percentuale? è del 20%? Perché?

La funzione che indica la popolazione del secondo gruppo anni dopo la prima rilevazione è quindi Anche in questo caso per trovare imponiamo che all'anno ci siano caprioli e troviamo i caprioli iniziali: per trovare la popolazione del secondo gruppo a dieci anni dalla prima rilevazione basta sostituire Quindi ci possiamo aspettare circa caprioli. Concludiamo ora con il gruppo 3. La variazione durante la prima annualità (anno 3-4) è di caprioli; durante il secondo periodo di un anno (anno 4-5) . La variazione assoluta annuale non è costante, quindi dobbiamo escludere un andamento di tipo lineare. Nell'anno tra il terzo ed il quarto la variazione percentuale è stata del Nell'anno tra il quarto ed il quinto abbiamo La variazione relativa sembra costante, ma per poter considerare affidabile la funzione che siamo costruendo essa deve dare risultati coerenti con TUTTI i dati a nostra disposizione: perché sia così nei due anni tra il 5 ed il 7 ci dovrebbe essere un aumento del 13% per due volte, quindi all'anno 7 il numero di caprioli dovrebbe essere Il risultato ottenuto di circa 4892 è significativamente diverso dal dato in nostro possesso per l'anno 7, quindi neppure la variazione annuale relativa è costante, di conseguenza non si può parlare di andamento esponenziale. L'andamento dei caprioli segue un modello più complesso o che comunque non conosciamo, e quindi non siamo in grado di effettuare previsioni.