Differentialrechnung - Grenzwertprozess

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten Gegeben ist eine Funktion f(x) mit zwei Punkten A und B auf dem Graphen der Funktion. Die Gerade, die beide Punkte verbindet ist die Sekante. Der Differenzenquotient Δy/Δx stellt die Steigung m dieser Sekante dar. Als mittlere Änderungsrate gibt dieser das Verhältnis der Änderung der Funktionswerte Δy zur Änderung der Argumente Δx im betrachteten Intervall an. Der Differentialquotient dy/dx geht aus dem Differenzenquotienten durch einen Grenzwertprozess hervor, in dem die Strecke Δx=h gegen Null geht. Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt wird dir dieser Grenzwertprozess dargestellt.
Aufgaben 1. a) Überprüfe die Ausgangssituation in dem Graphen für den Punkt A(x_0, f(x_0)) und den Punkt B(x_0+h, f(x_0+h). Welche Werte haben die Koordinaten dieser Punkte? b) Welche Werte ergeben sich daraus für Δx und Δy? c) Welcher Wert ergibt sich für den Differenzenquotienten Δy/Δx? Vergleiche den Wert mit der Anzeige. d) Vergleiche den Wert mit der Steigung m des Steigungsdreiecks der Sekante. 2. Der Grenzwertprozess mit Δx->0 bzw. h->0 lässt sich jetzt grafisch verfolgen. a) Für den Wert von h gibt es einen Schieberegler (blau). Der blaue Punkt lässt sich anfassen und verschieben. Verschiebe den Punkt langsam nach links, so dass der Wert von h langsam gegen Null geht. b) Verfolge dabei die Wertänderung des Differenzenquotienten Δy/Δx. Welcher Wert ergibt sich für h=0.1? c) Gegen welchen Wert konvergiert der Differenzenquotient? d) Wenn h gegen Null geht, dann sollte sich für den Differenzenquotienten Δy/Δx=0/0 ergeben, also eine Division von Null durch Null. Dieser Quotient ist dann nicht definiert. 3. Aber es gibt ein happy end. Der Differentialquotient erklärt, was eigentlich nicht erklärbar ist. Für h gegen Null geht der Punkt B in den Punkt A über. Die Steigung der Sekante sollte in die Steigung der Tangente im Punkt A übergehen. Warum sollte die Funktion f(x) im Punkt A keine Steigung besitzen? Für h->0 geht der Differenzenquotient Δy/Δx in den Differentialquotienten dy/dx über. a) Verschiebe h bis zum Anschlag nach links, damit wird h=0. Was passiert? b) Was passiert mit der Sekante? c) Welcher Wert wird für den Differenzenquotienten angezeigt? d) Welcher Wert wird für den Differentialquotienten angezeigt? e) Welcher Anstieg hat die Tangente? 4. Für den Grenzwertprozess ist eine Animation vorbereitet. Links unten siehst du ein Play-Symbol. a) Klicke darauf und lasse die Animation ablaufen. b) Beende die Animation mit dem Anklicken des Pause-Symbols. 5. Der Punkt A auf dem Graphen von f(x) lässt sich ebenfalls verschieben. a) Verschiebe den Punkt A und wiederhole die Aufgaben 2 bis 4. Beobachte dabei die Wertänderungen aller Größen. Heinz Lindner, Dresden, www.lindner-dresden.de - Analysis www.lindner-dresden.de/analysis.htm