Задача П1.10
- Author:
- Евгений
Условие
На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что . Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно. Докажите, что если , то
Рисунок
Решение 1 (подобие треугольников)
Треугольник BCO подобен треугольнику DEP. Из подобия следует . Так как , и , то пропорцию можно переписать в виде (1).
Треугольник COP подобен треугольнику ABO, поэтому . Диагонали трапеции делятся в точке пересечения в отношении оснований, поэтому из последней пропорции получаем (2).
Подставляем первое отношение пропорции (2) во второе отношение пропорции (1). Получаем пропорцию: .
или .
Что и требовалось доказать.
Решение 2 (отрезки между параллельными прямыми)
Так как BO=DP, то . Так как диагонали трапеции делятся в точке пересечения в отношении оснований, то (1), так как .
Так как прямые AB и CE параллельны, то они отсекают пропорциональные отрезки на прямых BD и AD, то есть (2).
Из (1) и (2) получаем или .