Suurin ja pienin arvo
- Author:
- P Porras
Etsittäessä funktion suurinta tai pienintä arvoa menetellään samalla tavalla kuin paikallisia ääriarvoja etsittäessä. Tällöin paikallisista maksimeista (paikallisista minimeistä) etsitään se kaikkein suurin tai pienin arvo. Kyseinen arvo voi löytyä myös välin päätepisteistä tai epäjatkuvuuskohdista. Suurin ero paikallisiin ääriarvoihin verrattuna on, että tutkiminen tapahtuu yleensä suljetulla välillä. Suljettu väli voi olla tehtävässä annettuna tai sen määritellään funktion perusteella. Soveltavissa tehtävissä on näiden lisäksi myös huomioitava käytännön asettamat rajoitukset.
Esimerkki 4. Määritetään funktion suurin ja pienin arvo.
Funktio on määritelty vain, jos eli . Funktio on jatkuva tällä välillä ja myös derivoituva avoimella välillä , joten suurin ja pienin arvo ovat olemassa.
Lasketaan derivaatan nollakohdat:
Derivaatan nollakohdista negatiivinen ei kelpaa (miksi?). Näin ollen merkkikaavio on
Funktiolla on selkeästi suurin arvo . Funktion pienin arvo voi löytyä joko ala- tai ylärajalta:
Näistä alarajan arvo on selkeästi pienempi, joten funktion pienin arvo on .
Esimerkki 5. Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan (kanneton) laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset palat pois. Kuinka paljon on nurkista leikattava, jotta saadun laatikon tilavuus olisi mahdollisimman suuri?
Olkoon poisleikattavan kulman pituus . Tällöin tilavuus
ja tilavuuden derivaatta
.
Derivaatan nollakohdat ovat siis . Koska on oltava vähintään 0 ja korkeintaan (vain puolet molemmin puolin), niin käytännön rajoituksista saatiin ala- ja yläraja:
Laatikon tilavuus on suurimmillaan, kun eli .