F5_Teorema del lado opuesto al ángulo

Autor:
Jorge Fernández Herce
Tema:
Ángulos, Trigonometría
A diferencia de los resultados anteriores que nos servían únicamente para triángulos rectángulos, el que vamos a enunciar aquí es válido para todo tipo de triángulos y tendrá un importancia fundamental en la Trigonometría. En un triángulo cualquiera se cumple:[\b]
  • El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de uno de esos lados por la proyección ortogonal del otro sobre él.
  • El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, más el doble producto de uno de esos lados por la proyección ortogonal del otro sobre él.
  • [b]Si el triángulo es rectángulo , el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (la hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (Los catetos), más el doble producto de uno de esos lados por la proyección ortogonal del otro sobre él (Como el triángulo es rectángulo, la proyección ortogonal de un cateto sobre el otro es un punto y, por tanto su medida es 0).
 En este caso el enunciado coincide con el Teorema de Pitágoras. (RF.4) La demostración la vemos en el Applet adjunto y consiste en lo siguiente: Tracemos la altura que parte del vértice C y llamemos H al pie de la misma sobre el lado \( \overline{AB} \) o sobre su prolongación. Como la altura es perpendicular a la línea de la base, tenemos dos triángulos rectángulos formados respectivamente por los vértices ACH y BCH. Aplicamos a cada triángulo el Teorema de Pitágoras. Expresamos: \( \overline{BH} \) en función de \( \overline{AB} \, y \, de \, \overline{AH} \) Operamos.

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