Trissecção do ângulo por Arquimedes.

Autor:
Vinicius Schaedler Damin

Os pontos M, N e O são movíveis.

Como funciona.

Quando o segmento i é igual ao raio da circunferência de raio , temos que o ângulo é igual a terça parte de . Para chegar a essa conclusão seguimos os seguintes passos: 1. Visualizamos que os triângulos e são isósceles (pois todos tem 2 lados iguais ao raio da circunferência de raio ); 2. Temos então que o ângulo e ; 3. Utilizando o teorema do ângulo externo, temos que o ângulo , e como , concluímos que ; 4. Se  e , então ; 5. Aplicando o teorema do ângulo externo agora para o triângulo , temos que o ângulo:  , substituímos pelo valor encontrado no item 4 e chegamos a igualdade  , logo, . 6. Então o ângulo é igual a terça parte do ângulo , assim trissecando o ângulo desejado. É importante lembrar que este método para a resolução do problema da trissecção do ângulo é feito através do método de neusis (pois para construirmos o segmento NM de modo que BN seja igual a um segmento já descrito, é necessário o uso de, por exemplo, uma régua graduada), e ao usarmos este método estamos fugindo do uso de: somente régua não graduada e compasso para a resolução dos problemas Gregos.

Quando o ângulo for maior que 180°.

Quando o ângulo MOA (verde) for maior que 180°, podemos ver que o ângulo ONB (azul) não está mais o trissectando, para resolver isso poderíamos simplesmente mudar os ângulos, ou seja, passá-los de externos para internos, o que nos daria os mesmos valores encontrados quando o ângulo MOA<180°. Ou simplesmente subtraímos 240° do ângulo ONB, e novamente conseguimos que o ângulo MOA seja o triplo do ângulo ONB. Colocando isso em uma igualdade ficaria: , e lembrando que estamos falando dos ângulos externos, pois queremos a trissecção de ângulos maiores que 180°.

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