Construction de Ptolémée du pentagone

Construction à partir d'un sommet A, situé à l'extrémité d'un diamètre du cercle circonscrit.
Tracer un cercle ([math]c_1[/math]) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].[br][br]K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » ([math]c_2[/math]) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U.[br]OU/OA = [math]\frac{1}{\varphi}[/math] (φ nombre d'or) : le point U partage le rayon [OA] en moyenne raison.[br][br]La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.[br]La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle ([math]c_1[/math]) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe ([math]c_1[/math]) en C.[br] Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.[br][br]La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.
Autre construction de Ptolémée du pentagone régulier :[br][url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/XSzTrc3E]Sommet A en haut[/url][br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/pentagone_classique.html]Pentagone régulier[/url][br][url=http://www.debart.fr/geogebra/pentagone_geogebra.html]Figures interactives avec GeoGebra[/url]

Information: Construction de Ptolémée du pentagone