Baryzentrische und kartesische Koordinaten
- Autor:
- Andreas Vohns
- Thema:
- Koordinaten
Kennt man die drei kartesischen Koordinatendarstellungen der Punkte in der Ebene, wobei nicht auf einer Geraden liegen. Dann lässt sich
jeder Punkt der Ebene eindeutig darstellen als:
.
Wobei gilt
Das Tripel heißt dann baryzentrische Koordinaten von bezüglich des Dreiecks .
Im Arbeitsblatt unten wird der Punkt aufgrund seiner in den Tabellenzellen A2,B2,C2 eingetrangenen Koordinaten bezüglich des Dreiecks dynamisch erzeugt. Zum Verändern des Punktes sind die Werte in den entsprechenden Zellen zu ändern.
Der Punkt ist ein frei beweglicher Punkt, seine baryzentrischen Koordinaten bzgl. werden dynamisch durch Lösung eines Gleichungssystems berechnet, dessen erweiterte Koeffizientenmatrix sich im Zellbereich F2:I4 befindet.
Mögliche Fragestellungen:
- Welche baryzentrischen Koordinaten hat der Schwerpunkt des Dreicks (für die eingetragenen Werte, im Allgemeinen)?
- Welche ausgezeichneten eines Dreiecks werden durch und\newline bezeichnet? Wie lässt sich die mathematisch begründen?
- Ermittle eine algebraische Darstellung der baryzentrischen Koordinaten aller Punkte auf der Dreicksseite , bzw. der zur Gerade verlängerten Dreiecksseite. Wie sieht eine entsprechende Gleichung für zu dieser Seite parallele Geraden aus?
- Ermittle rechnerisch (durch Ansatz eines LGS) die baryzentrische Darstellung des Ursprungs bezüglich des Dreiecks . Überprüfe die gefundenen Koordinaten durch Eingabe in die GeoGebra-Vorlage.
- Ermittle durch geeignete Konstruktionen in GeoGebra, welcher besondere Punkt eines Dreiecks sich hinter den baryzentrischen Koordinaten mit als den Seitenlängen des Dreiecks und verbirgt.