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Doppelverhältnis und Wurzel 1

Autor:Walter Füchte
Es sei ein komplex 2-dimensionaler Unterraum von , auf welchem die Form nicht ausgeartet ist: für je zwei verschiedene ist die Diskriminante . enthält daher 2 verschiedene isotrope Vektoren. Somit kann man eine euklidische Basis so wählen, dass ist. Für je zwei verschiedene mit ist dann das Doppelverhältnis
unabhängig von der komplexen Skalierung der beteiligten Vektoren, und es ist . Wir können für die nicht-isotropen Vektoren aus inhomogene Koordinaten wie folgt wählen: . Die Pole der Vektoren ergeben sich aus den Gleichungen : . Mit diesen inhomogenen Koordinaten erhält man: . Die Invariante besitzt eine interessante möbiusgeometrische Bedeutung: Die Möbius-W-Bewegung bewegt den Punkt zum Punkt für bis . Man könnte vage sagen, dass die möbiusgeometrische Entfernung von zu beschreibt. Die Bewegung ist für reelles eine Streckung, für imaginäres eine Drehung und sonst eine Drehstreckung, als Kurve entsteht dann eine logarithmische Spirale. Sinnvoll ist diese Deutung nur von den Fixpunkten 0 und aus betrachtet!
  • ist additiv: . Dies ist der Fall, weil die Drehstreckungen um 0, eine kommutative Untergruppe der Möbiustransformationen bilden.
  • In der hyperbolischen, wie in der elliptischen Ebene wird durch tatsächlich der hyperbolische , bzw. der elliptische Abstand gemessen! Siehe 5.4 und 5.5.
Berechnung von : Unter der Voraussetzung besitzt die Gleichung die Lösungen ; hiermit erhält man und als Invariante von
  • .
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.
Es sei ein komplex 2-dimensionaler Unterraum von , auf welchem die Form nicht ausgeartet ist: für je zwei verschiedene ist die Diskriminante . enthält daher 2 verschiedene isotrope Vektoren. Somit kann man eine euklidische Basis so wählen, dass ist. Für je zwei verschiedene mit ist dann das Doppelverhältnis
unabhängig von der komplexen Skalierung der beteiligten Vektoren, und es ist . Wir können für die nicht-isotropen Vektoren aus inhomogene Koordinaten wie folgt wählen: . Die Pole der Vektoren ergeben sich aus den Gleichungen : . Mit diesen inhomogenen Koordinaten erhält man: . Die Invariante besitzt eine interessante möbiusgeometrische Bedeutung: Die Möbius-W-Bewegung bewegt den Punkt zum Punkt für bis . Man könnte vage sagen, dass die möbiusgeometrische Entfernung von zu beschreibt. Die Bewegung ist für reelles eine Streckung, für imaginäres eine Drehung und sonst eine Drehstreckung, als Kurve entsteht dann eine logarithmische Spirale. Sinnvoll ist diese Deutung nur von den Fixpunkten 0 und aus betrachtet!
  • ist additiv: . Dies ist der Fall, weil die Drehstreckungen um 0, eine kommutative Untergruppe der Möbiustransformationen bilden.
  • In der hyperbolischen, wie in der elliptischen Ebene wird durch tatsächlich der hyperbolische , bzw. der elliptische Abstand gemessen! Siehe 5.4 und 5.5.
Berechnung von : Unter der Voraussetzung besitzt die Gleichung die Lösungen ; hiermit erhält man und als Invariante von
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