GeoGebra

Zusammenhänge 5

Szerző:Walter Füchte

Invarianten

Zu einer selbstadjungierten komplex-linearen Abbildung untersuchen wir das charakteristische Polynom . Da durch dasselbe quadratische Vektorfeld gegeben ist, von gemeinsamen Umnormierungen abgesehen, können wir erreichen. Dann ist
  • mit das charakteristische Polynom von .
Kurze Analyse dieser Invarianten: sind die Eigenwerte von , so gilt für die Diskriminante von :
(v.d.Waerden [WAER]). Ist , so besitzt höchstens 2 verschiedene Eigenwerte. Ist , so ist die komplexe Zahl
eine absolute Invariante von , und damit eine absolute Invariante des quadratischen Vektorfeldes. Welcher Zusammenhang besteht zu der absoluten Invariante der Brennpunkten? Es sei zunächst die Situation für 4 verschiedene Brennpunkte betrachtet. Die 4 Punkte werden in Normalform untersucht, dh. in einem euklidischen KOS, in welchem sie die komplexen Gauss -Koordinaten besitzen (man vergleiche hierzu die Abschnitte 4.3, 4.5 und 4.6). In dem Quadrik-Büschel liegt die zerfallende Form , die aus den Verbindungsgeraden der komplexen Brennpunkte besteht. Als Matrix stellen wir diese quadratische Form mit Hilfe der ON-Basis dar. Die ON-Basis besteht aus den Polargeraden der Koordinatenachsen im Raum, das sind die Verbindungsgeraden von -1 und +1, bzw. 0 und , bzw. -i und i. Man erhält die 3x3-Matrix von :
Wir haben die Fälle: zwei 1-fache, ein 2-facher Brennpunkt, bzw. ein 1-facher, ein 3-facher Brennpunkt gleich mit aufgeführt. Wählen wir -1, -1 als einfache, und als doppelten Brennpunkt, so ist , wählen wir 0 als einfachen und als 3-fachen Brennpunkt, so ist jeweils eine geeignete zerfallende quadratische Form mit den oben angegebenen Matrizen. Die zugehörigen Matrizen mit Spur 0 sind dann
    und .
Wir berechnen die charakteristischen Polynome:
    , bzw. , bzw.
In den Fällen mit zusammenfallenden Brennpunkten ist die Diskriminante Null. Für 4 verschiedene Brennpunkte berechnet man die Invarianten:
    und
und daraus die absolute Invariante
womit sich der in Frage stehende Zusammenhang mit der absoluten Invariante der Brennpunkte ergibt:
All diese Rechnungen sind händisch vielleicht etwas aufwendig, mit einer guten CAS-Software ergeben sich die Berechnungen blitzschnell. Die hohen Potenzen, mit denen vorkommt - Zähler und Nenner sind in Polynome 24.ter Ordnung - sind einfach der Tatsache geschuldet, dass in einer euklidischen Normalform-Basis die mit gleicher Invariante invariant unter der Oktaeder-Gruppe ist (man vergleiche dazu Abschnitt 4.6). Im Bild des vorliegenden Arbeitsblatt ist noch ein Zusammenhang zu den Invarianten der Weierstrassschen -Funktion angedeutet: die -Funktion wird durch 2 Differentialgleichungen charakterisiert
    (1) bzw. (2) mit , .
dabei sind [Zitat] " die Halbperiodenwerte und die Werte der Eisenstein-Reihen..." [LAMO]. In unserem Zusammenhang sind und, nicht genannt, die Brennpunkte von . Es handelt sich also im Wesentlichen um die obigen Invarianten. Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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