aproksymacja funkcji mierzalnej
- Autor:
- Mateusz Maciejewski
W poprzedniej karcie pracy wyjaśniona jest aproksymacja identyczności . Aby otrzymać aproksymację dowolnej funkcji mierzalnej f wystarczy złożyć ją z funkcjami . Otrzymamy funkcję, która ma być może przeliczalnie wiele wartości. Aby otrzymać aproksymację funkcjami prostymi, stosujemy najpierw złożenie f z funkcją , która jest tzw. retrakcją na zbiór [-n,n]. Jest to funkcja, która pokrywa się z identycznością na [-n,n] oraz ma wartości w zbiorze [-n,n]. Taką funkcją (najprostszą) jest funkcja .
Tak więc ciągiem aproksymującym funkcję f, składającym się z funkcji prostych, jest ciąg . Aby dla nieujemnej funkcji f uzyskać ciąg niemalejący, rozważamy ciąg (więcej o monotoniczności w poprzedniej karcie pracy).
Aplet:
Warto, dla coraz większych wartości n, wyświetlić sobie funkcje , ale raczej nie wszystkie na raz.
Proszę również zauważyć, że można zmienić funkcję f.