3.1 Triángulo no isósceles

Siguiendo con los acercamientos del tipo  “¿qué pasaría si…?”, la pregunta se plantea: “Hasta aquí, exploramos triángulos isósceles donde los lados iguales tiene un valor fijo dado. ¿Qué pasaría si hiciéramos un pequeño cambio, de manera que el triángulo no fuera isósceles pero “casi” lo fuera? El software toma en cuenta cambios que se propagan a toda la construcción para hacerla más fácilmente. Así, aprovechando esta facilidad, propusimos cambiar sólo uno de los lados fijos de longitud 5 a longitud 4 (dejando el otro con longitud 5). Explorando la forma en que el área varía como función del lado variable se obtiene algo como lo que muestra la siguiente construcción*. (*Mover C para observar la gráfica)
La pequeña sorpresa que exploramos aquí fue que la gráfica “no empieza” en el origen. Sin embargo, la gran sorpresa vino en el siguiente paso. Aquí, otra vez propusimos investigar al área como función de la altura sobre el lado variable. *La siguiente es construcción muestra la gráfica generada cuando el vértice C era arrastrado (empezando con triángulos para los cuales la altura cae dentro de la figura). La gráfica incipiente parecía ser muy similar a aquéllas previamente obtenidas. En algunas clases, hicimos el arrastre frente al grupo. La expectativa general era la de una forma similar a las ya obtenidas (* como en la construcción anterior). Sin embargo, arrastres posteriores condujeron a *lo que puede observar haciendo girar C en sentido horario, desde su posición inicial, hasta que quede dentro del segmento AC.
La gran mayoría de los maestros estaban más sorprendidos que los estudiantes, y la exclamación espontánea que escuchamos con mayor frecuencia fue “…pero no es una función!”. Para muchos maestros, la prueba visual de la línea vertical para determinar si una gráfica corresponde o no a una función,  es una herramienta muy utilizada y las gráficas que fallan ante esta prueba son de alguna manera sospechosas (ver, por ejemplo, Even y Bruckheimer, 1998). Para otros, la gráfica “que va hacia atrás” fue lo más sorprendente. La pregunta inmediata (que no necesitamos hacer) fue “¿qué pasa aquí?” Lo primero que hicieron muchos participantes fue reproducir la situación, y notar que, en cierto momento, la altura “escapa” del triángulo (o brinca de afuera hacia adentro del triángulo). Aprovechamos la oportunidad para discutir por qué esto no había pasado en el triángulo isósceles. La altura que escapa hacia fuera fue sospechosa de estar relacionada con la gráfica sorprendente. Otros relacionaron esa observación con sus posteriores observaciones de que la altura no se incrementa en todo su dominio, también se encoge en algunas partes de él, lo que explica por qué la gráfica “se va hacia atrás”. Otros también observaron que el incremento y luego decremento de los valores de la altura (la variable independiente) creó dos diferentes valores del área para el mismo valor de la altura: si la altura está fuera del triángulo la “base” es menor y por lo tanto el área es menor, pero la misma altura puede estar dentro del triángulo, y esto sucede  para una “base” mayor, en cuyo caso el valor del área es mayor (ver Figura 13). Encontramos este tipo de explicaciones especialmente interesantes porque: a) emergieron después manipular una y otra vez la situación geométrica de forma dinámica, b) están íntimamente relacionadas a la percepción experimental de la variabilidad que está en el centro de la idea de función, como descripción de una situación dinámica, y c) aunque emergen de observaciones empíricas, sirven como peldaños para producir argumentos generales y deductivos que parecen ser gratamente convincentes.
En este punto, decidimos dedicar tiempo a la creación y análisis de la representación simbólica o analítica, para reproducir con profesores y estudiantes lo que nos pasó cuando inventamos y jugamos con esta situación. Hicimos la pregunta (como nos la hicimos a nosotros mismos): “¿cómo describen los símbolos esta situación?”. Para aquellos que produjeron o siguieron la explicación geométrica cualitativa, el proceso de modelar simbólicamente esta situación añadió otra base de significación. Primeramente, se formalizó la explicación verbal en . Esta fórmula ayudó a apreciar, por medio de símbolos, cómo para la misma altura BD, se obtienen diferentes valores para el área (lo que fue la sorpresa gráfica): por un lado, el área se calcula como la suma de dos triángulos con su altura como lado común, y por otro, cuando la altura cae fuera, el área se calcula como la diferencia de dichos triángulos. (*Probar en la siguiente construcción, moviendo C y comparando cuándo la altura está dentro y fuera del triángulo)
En segundo lugar, reescribiendo la fórmula en términos de la altura variable (x=BD) para obtener , esto hace más claro que, de hecho, lo que tenemos es dos funciones describiendo esta situación, por diferentes subdominios. Las gráficas de estas dos funciones se pegan suavemente cuando la altura coincide con el lado de longitud 4 (que es precisamente el máximo valor de la altura). La sustitución de ese valor en la expresión aporta una consideración adicional que, en este caso, no hay suma o diferencia de dos triángulos, los cuales ya se vieron colapsándose gráficamente dentro de un solo triángulo. Lo que aquí hicimos fue comparar, contrastar y manipular la situación geométrica, su representación gráfica y las expresiones simbólicas. Por ejemplo, ¿por qué es 4 el máximo valor para la altura sobre AC y cómo se expresa esto en la situación, la gráfica y los símbolos? O ¿cuál es el significado geométrico de las funciones pegándose suavemente? O ¿qué significa que la gráfica tiene siempre (con dos excepciones) dos valores de x para cada valor de y, y viceversa? O ¿qué pasaría si hubiéramos considerado, por ejemplo, el área de ABC como función de la altura sobre AB (el lado de longitud 5)? Y así podrían seguir las preguntas. Vemos esta actividad de manera similar a aquélla con la que Dennis & Confrey (1996, p.35) describen su visión de la evolución del conocimiento en la historia de las matemáticas: “como la coordinación y contraste de múltiples formas de representación…frecuentemente uno ve una forma particular de representación como primaria para la exploración, mientras otra constituir la base de una comparación para decidir si el resultado es correcto. La representación que confirma debe ser relativamente independiente de o contrastar con la representación primaria que explora. Debe mostrar contraste, así como coordinación para que la aprehensión sea obligada”.  Ellos sostienen que, ciertas representaciones pierden sentido y se distorsionan en la mayoría de los currículos. Por ejemplo, “el plano cartesiano se trata principalmente como un medio para desplegar ecuaciones algebraicas”. En cambio, en nuestro caso, la gráfica cartesiana fue expresando directamente las características del fenómeno que requerían explicaciones. Algunas de esas explicaciones se produjeron verbalmente mediante la revisión del fenómeno. Este y otros fueron refinados y vueltos a producir cuando la representación simbólica se introdujo para contrastar, verificar y extender la aprehensión.