Funzioni pari e funzioni dispari; simmetrie
- Autore:
- Ilic Ferretti
Una funzione matematica si dice pari se valutandola per un qualsiasi valore di e per il corrispondente valore opposto si ottiene lo stesso risultato:
Il nome deriva dal fatto che l'esempio più semplice di funzione pari sono le potenze pari; ad esempio se consideriamo possiamo verificare che calcolandola in otteniamo lo stesso risultato che calcolandola in ;
Le potenze pari non sono le uniche funzioni pari; un altro esempio importante è il coseno, come vediamo nell'animazione qua sotto in cui si mostra anche un'importante proprietà delle funzioni pari: il loro grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y.
Corrispondentemente, si definisce dispari una funzione che valutata al valore opposto a quello di un qualsiasi valore di riferimento, restituisce risultato opposto, cioè:
Puoi intuire che qualsiasi potenza dispari è una funzione dispari, infatti ad esempio
Analogamente a quanto visto per il coseno, vediamo nella prossima animazione che il seno è una funzione dispari e che il grafico delle funzioni dispari è simmetrico rispetto all'origine del sistema di riferimento.
PARI O DISPARI?
La nomenclatura "pari" e "dispari" offre SOLO ALCUNE analogie con le proprietà dei numeri corrispondenti, mentre per altri aspetti il comportamento è molto differente.
La differenza più importante è che, a differenza dei numeri, una funzione non è necessariamente pari o dispari: la maggior parte delle funzioni non è né pari né dispari.
Per verificare se una funzione qualsiasi è pari, dispari o nessuna delle due è sufficiente verificare cosa succede se invece di valutarla per un valore la valutiamo per il valore :
- la funzione è pari se otteniamo la stessa espressione (stesso risultato)
- la funzione è dispari se otteniamo l'espressione con tutti i segni cambiati (risultato opposto)
- in qualsiasi altro caso la funzione non è né pari né dispari (e non presenta nessuna delle simmetrie descritte sopra)