Proposició I.2 dels Elements d'Euclides - III
- Autor:
- Ramon Nolla
- Tema:
- Geometria
Segons els tres primers postulats dels Elements d'Euclides, disposem per a la representació dels objectes geomètrics, d'un regle que només serveix per traçar rectes i d'un compàs, el qual donat un punt B i un segment BC permet traçar la circumferència de centre B i radi BC. El regle no té marques i el compàs es tanca quan aixequem les puntes del paper, és a dir, no hi ha cap postulat que digui que es permet de traslladar segments. Podríem pensar que els postulats dels Elements no permeten utilitzar un compàs modern, el qual en aixecar les puntes del paper conserva la seva obertura i, per tant, permet traslladar segments. Però, la proposició I.2 dels Elements afirma el contrari, perquè permet construir un segment AK igual a un altre BC en qualsevol punt A del pla. En definitiva, si tenim un compàs euclidià o col·lapsable, amb l'ajut de I.2, podrem construir una circumferència de mateix radi i centre diferent que una anteriorment construïda i, consegüentment, el compàs modern i l'euclidià són equivalents.
En aquesta construcció d'Arnau Garcés (1 BAT) s'utilitza sis vegades el compàs, (dues més que en la d'Euclides), i tres vegades el regle, com en la d'Euclides. Tanmateix s'hauria hagut de situar darrere de la proposició I.12 per a poder traçar la perpendicular i ser justificada mitjançant congruència de triangles.
Proposicions del llibre I dels Elements: http://goo.gl/naeQ4w