Lineare Gleichungen in zwei Variablen

Autor:
Melanie Fischer, aabza
Inhaltliche Aufbereitung: Ziele: - Mit Hilfe dieses Unterrichtsmaterials sollen lineare Gleichungssysteme mithilfe von GeoGebra grafisch vermittelt werden. - Die Schülerinnen und Schüler sollen die Zusammenhänge der einzelnen Komponenten sehen und erkennen können. - Die auf rechnerische Weise gefundene Lösung soll mit einer grafischen Lösung verglichen werden. - Es soll den Schülerinnen und Schülern eine Möglichkeit zeigen, wie sie schnell und einfach ihre rechnerischen Lösungen selbst kontrollieren können. Mathematische Definitionen: Lineare Gleichungen in zwei Variablen (grafisch) Ist nur eine einzige lineare Gleichung mit 2 Variablen gegeben, so kann man keine eindeutige Lösung für die Gleichung finden. Bei zwei linearen Gleichungen gibt es meist genau ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Es sind die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden. Bei einem Gleichungssystem von zwei Gleichungen in zwei Variablen wird zwischen 3 Lösungsfällen unterschieden. Für x €  und y €  kann die Lösung:
  1. Aus einem Zahlenpaar bestehen: L= {(3/1)}
  2. Die leere Menge sein, wenn sich Gleichungen widersprechen: L = {}
  3. Aus unendlich vielen Zahlenpaaren bestehen, wenn die Gleichungen äquivalent sind L={}
Lineare Gleichungen in zwei Variablen (rechnerisch) Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in zwei Variablen lässt sich mit der grafischen Methode wegen der Zeichengenauigkeit nicht immer eindeutig bestimmen. Es ist daher erforderlich, Gleichungssysteme auch rechnerisch lösen zu können. Für das rechnerische Lösen eines linearen Gleichungssystems in zwei Variablen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für den Lösungsweg:
  • Das Einsetzverfahren,
  • Das Gleichsetzungsverfahren,
  • Das Eliminationsverfahren (Methode der absolut gleichen Koeffizienten).
    • Voraussetzungen: Technisches Vorwissen: Grundlegende Fertigkeiten in der Bedienung von GeoGebra Mathematisches Vorwissen:
    • Grundlegendes zu Funktionen ( im Besonderen zu linearen Funktionen)
    • Lineare Gleichungen in zwei Variablen rechnerisch lösen können
    • Kurze Einführung in das grafische Lösungsverfahren von Gleichungen mit zwei Variablen  
    Wiederholung: Dieses Applet kann auch gut als Wiederholung dienen. Hier bietet es sich an, die zweite Gerade auszublenden und nochmals die wichtigsten mathematischen Begriffe anhand der ersten Gerade zu besprechen. Hilfreiche Fragen dazu: Wie sieht die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus? Was sagt die Steigung aus? Wie verhält sich der Graph, wenn ich die Steigung verändere? k<0? k>0? k=0? Was bedeutet das „d“ in der Funktionsgleichung k*x +d? d=0?

    Arbeitsauftrag

    Verstelle die Schieberegler bei den Geraden f und g beliebig um. Du kannst auch bestimmte Werte in die Textfelder eingeben. Notiere deine Beobachtungen.

    Lineare Funktionen und Schnittpunkte:

    Arbeitsautrag

    1) Gib drei unterschiedliche Funktionsgleichungen für f und g und ihren Schnittpunkt an! 2)Was kannst du beobachten, wenn die Steigung bei den beiden Graphen gleich groß ist? 3)Wo befindet sich der Schnittpunkt, wenn der y-Achsenabschnitt gleich groß ist? 4) Gib die Koordinaten des Schnittpunktes und die Lösungsmenge der folgenden     Gleichungssysteme an a) 1.  2.2 x - 0.2   b)     1. 0.3 x - 0.8     2.  0.8 x + 1.2    2. 0.3 x + 0.2

    Weiterführung

    Nachdem sich die Schülerinnen und Schüler mit diesem Applet einen guten Überblick über die Thematik verschafft haben und gesehen haben wie so eine Darstellung aussehen kann, sollen sie nun selbst an Geogebra arbeiten. Hauptsächlich sollen sie damit ihre rechnerisch ermittelten Lösungen mit Hilfe von Geogebra grafisch überprüfen. Für das selbstständige Arbeiten mit Geogebra sollen die Schülerinnen und Schüler bereits Funktionen zeichnen und Tabellen erstellen können. Eine gute Anleitung zum grafischen und rechnerischen Lösungsverfahren mit GeoGebra findet sich im Mathematikbuch "Mathematik- Verstehen + Üben + Anwenden" auf der S. 256/ 257. Dazu finden sich auch gute Beispiele um das Lösen von Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwenden zu können.

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