I.5 (Rovnoramenný trojúhelník - úhly u základny)

Heath:

In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another. viz

Servít:

V trojúhelnících rovnoramenných úhly při základně jsou si rovny, a prodlouží-li se stejné úsečky (ramena), úhly pod základnou budou si rovny.

Školská formulace:

Je-li trojúhelník rovnoramenný, potom platí: a) vnitřní úhly u základny jsou shodné b) vnější úhly u základny jsou shodné

Obrázková formulace:

Důkaz:

1. Nechť trojúhelník ABC je rovnoramenný a rameno AB je rovno ramenu AC. (I.Def.20). 2. Prodlužme úsečky AB a AC o úsečky BD a CE. (I.Post.2). Pravím, že ABC = ACB a CBD = BCE. 3. Vezměme na BD kterýkoli bod F a od delšího AE odřízněme AG rovné menšímu AF. (I.3) 4. Veďme úsečky GC, GB. (I.Post.1) 5. Trojúhelníky AFC a AGC se shodují ve dvou stranách (AF = AG a AB = AC) a v úhlu BAC jimi sevřeném. Proto jsou shodné (věta sus – I.4) 6. Z toho plyne, že se shodují i ve zbylé straně – tedy FC = GB. 7. Dále z toho plyne, že se shodují i v ostatních dvou úhlech – tedy AFC = AGB a ABG = ACF. 8. Jelikož celé AF je rovno celému AG, z čehož AB = AC, zbytek tedy BF = CG. (Axiom 3) 9. Trojúhelníky BFC a CGB se shodují ve dvou stranách (BF = CG a FC = GB) a v úhlech jimi sevřených (AFC = AGB). Proto jsou shodné (věta sus – I.4). 10. Z toho plyne, že se shodují i v úhlech FBC a GCB. Tedy vnější úhly u základny BC jsou shodné, čímž je dokázána druhá část tvrzení. 11. Dále z toho plyne, že se shodují i v úhlech GBC a FCB. 12. Jelikož celý úhel ABG je roven úhlu ACF a části GBC a FCB jsou si rovny, musí se rovnat i zbytky, tedy ABC = ACB (Axiom 3). Vnitřní úhly u základny BC jsou tedy shodné, čímž je dokázána i první část tvrzení.