Korkeamman asteisia erikoistapauksia
- Tekijä:
- P Porras
Jos polynomin aste on enemmän kuin kaksi, voi tekijöihin jako olla vaikeaa. Alla on lueteltu joitakin erikoistapauksia.
- lausekkeesta puuttuu vakiotermi, jolloin voidaan ottaa yhteinen tekijä
- kaksoisneliöllinen lauseke, jolloin voidaan käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa
- ainakin yksi nollakohdista tunnetaan, jolloin astelukua voidaan pienetää jakokulman avulla.
- kaikki kokonaislukunollakohdat löytyvät vakion tekijöistä
- nollakohdat, jotka ovat murtolukuja, löydetään niiden lukujen joukosta, kun vakion tekijät yksitellen jaetaan korkeinta astetta olevan termin kertoimen tekijöillä.
Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö .
Esimerkki 6. Ratkaistaan yhtälö
Esimerkki 7. Ratkaistaan yhtälö
Esimerkki 8.. Ratkaise
Koska molemmat arvot ovat positiivisia, niin muuttujan x arvo saadaan ottamalla neliöjuuri molemmin puolin:
.
Esimerkki 9.. Jaa tekijöihin
Vakion 1 tekijät ovat Jos lausekkeella on kokonaislukua oleva nollakohta, on se näiden lukujen joukossa (voi siis olla useampia). Sijoittamalla luvut yksitellen lausekkeeseen nähdään, tekeekö niistä mikään lausekkeen arvoa nollaksi. Sijoittamisen jälkeen havaitaan, että ainoastaan luku 1 nollakohta.
Muiden nollakohtien etsimiseksi tutkitaan murtolukua olevia nollakohtia. Tällaiset löytyvät, kun vakion tekijät jaetaan korkeinta astetta olevan termin kertoimen tekijöillä. Korkeinta astetta olevan termin kertoimen tekijät ovat Tällöin ehdokkaat murtolukumuotoisiksi nollakohdiksi ovat Näistä ainoastaan luvut tekevät lausekkeen arvoksi nolla. Koska lauseke on kolmatta astetta, niin sillä on korkeintaan kolme reaalista nollakohtaa. Toisin sanoen kaikki mahdolliset nollakohdat on löydetty.