Ausblick
CASSINI-Kurven und Tori
Die ebene Möbiusgeometrie ist ein kleiner Teil der Möbiusgeomerie des Raumes: da geht es um Punkte, Kugeln und deren Schnitte, die Kreise. Jede Kugel ist eine Möbiusebene für sich!
Eine W-Bewegung ist zB. eine Drehung um eine Achse. Ein Kreis, der hierbei mitbewegt wird, durchläuft einen Torus.
Schneidet man einen solchen Torus mit speziellen Ebenen, so ergeben sich als Schnittkurven CASSINI-Ovale (siehe Wikipedia Cassinische Kurve). Die Schnittebene ist parallel zur Torus-Achse im Abstand , dem Radius des rotierenden Kreises. Auf einem Torus gibt es 4 Scharen von Kreisen. Diese bilden ein 6-Ecknetz mit Diagonalen! Die "schrägen" Kreise heißen Villarceau-Kreise (Wikipedia Villarceau-Kreise).
Symmetrieen, doppelt-berührende Kreise, Leitkreise
Die CASSINI-Quartiken sind spezielle bizirkulare Quartiken, sie besitzen deren geometrische Eigenschaften.
Beispielsweise sind die zweiteiligen Quartiken symmetrisch zu 4 paarweise orthogonalen Kreisen.
Die 4 Brennpunkte liegen entsprechend symmetrisch.
Zu jeder Symmetrie gibt es doppelt-berührende Kreise; diese halbieren die Winkel der zugehörigen "Brennkreise" durch entsprechende Brennpunkte. Die Quartiken werden von den doppelt-berührenden Kreisen eingehüllt.
Experimentieren Sie mit der Spur und der Schrittweite. Verschieben der Ansicht löscht die Spuren.
Wählt man einen der Brennpunkte aus, so gibt es zu jeder Symmetrie einen Leitkreis mit der Eigenschaft:
Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an den zugehörigen doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Spiegelpunkte auf dem Leitkreis.
Damit kann man umgekehrt die Quartiken als Ortskurven konstruieren. Bei den CASSINI-Quartiken liegen diese Leitkreise konzentrisch zum ausgewählten Brennpunkt!
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.