Teorema tangente
L'asse del segmento avente per estremi il fuoco della parabola stessa e un punto generico della sua direttrice, risulterà sempre tangente alla conica.
IPOTESI: Consideriamo una
parabola generica di equazione y=a(x)^2, F è il fuoco della
parabola, d la sua direttrice e P un punto generico di essa.
TESI: l'asse del segmento FP è
tangente alla parabola.
DIMOSTRAZIONE
-Il fuoco ha coordinate F(0;1/4a),
mentre la direttrice ha equazione d)y=-1/4a.
-Il punto generico della direttrice ha coordinate P(x0;-1/4a),
-si calcola quindi l'asse del segmento FP:
m della retta FP= -1/2ax0
quindi m dell'asse è 2ax0
punto medio di FP ha coordinate M(x0/2;0)
equazione asse:
y=2ax0(x-x0/2)
da cui:
y=2ax0x-(ax0)^2
-si mette a sistema l'equazione della parabola con quella dell'asse dimostrando che il valore del discriminante risulti nullo
-l'equazione ricavata dal sistema è
quindi a(x)^2=2ax0x-a(x0)^2, proseguendo con i calcoli algebrici si ha:
a(x)^2-2ax0x+a(x0)^2=0
da cui si ricava il discriminante:
(ax0)^2-a(x0)^2 *a=(ax0)^2-(ax0)^2=0.
CONCLUSIONE
Si può dunque concludere che, in una
parabola, l'asse del segmento avente per estremi il fuoco della
parabola stessa e un punto generico della sua direttrice, risulterà
sempre tangente alla conica.