Potenzfunktion mit natürlicher Potenz

Autor:
Alex

Potenzen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen

In dieser Aufgabe geht es darum zu verstehen, wie sich die Hochzahl n auf das Aussehen des Graphen der Funktion f(x) = a * xn + b auswirkt. Ein konkretes Beispiel dafür sind die beiden Funktionen f(x) = x2+1 und g(x) = -4x3-2. Wie unterscheiden sich die beiden? Um diese Frage beantworten zu können, sehen wir uns die Unterschiede von f und g im Detail an. Wir haben drei Parameter, die wir in a xn + b untersuchen können:
  1. Die Hochzahl n
  2. Den Parameter a und
  3. Den Parameter b.
Bevor wir uns mit der Hochzahl n beschäftigen, werfen wir einen Blick auf a und b. Die passende Frage dazu ist: Wie verändern die beiden Parameter a und b das Aussehen des Graphen der Funktion? Beginnen wir mit dem Parameter b. Zu Anfang kontrolliere bitte, dass a = 2, b = -3 und n = 2 ist.
  1. Wie lautet die Funktion f(x) mit diesen Parametern?
  2. Verändere nun den Wert von b und beobachte was mit dem Graphen geschieht.
  3. Für welchen Wert von b geht der Graph genau durch den Punkt (0/0)?
  4. Wie lautet die Funktion dann?

Veränderung von b untersuchen

Änderungen am Parameter a

Jetzt verändern wir den Parameter a. Zuerst kontrolliere bitte, dass a = 2, b = -3 und n = 2 ist.
  1. Was passiert, wenn a immer größer wird? Wie verändert sich der Graph?
  2. Versuche nun, a kleiner als 0 zu machen. Was passiert mit dem Graph, wenn a < 0 ist?
  3. Kannst du a und b so einstellen, dass der Graph genau durch 0/0 geht und nach unten geklappt ist?
  4. Wie lautet die Funktion nun?

Veränderung von a untersuchen

Änderungen an der Hochzahl n

Jetzt verändern wir die Hochzahl n. Zuerst kontrolliere bitte, dass a = 2, b = -3 und n = 2 ist.
  1. Was passiert, wenn n größer wird? Wie verändert sich der Graph?
  2. Schiebe nun langsam n von ganz links nach ganz rechts. Was beobachtest du für n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 und n = 6?
  3. Sind sich die Graphen für n = 2, n = 4 und n = 6 ähnlich? Wenn ja, warum?
  4. Sind sich die Graphen für n = 1, n = 3 und n = 5 auch ähnlich? Wenn ja, warum?

Veränderungen der Hochzahl n untersuchen

Frage 1

Für gerade Hochzahlen n ist der Graph der Funktion f(x) = xn ...

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Frage 2

Für ungerade Hochzahlen n ist der Graph der Funktion f(x) = xn ...

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Frage 3

Wenn a < 0 wird, zeigt sich das im Graphen der Funktion f(x) = a xn ...

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