Coniche in forma polare e leggi di Keplero

Argomento:
Coniche

Coniche in forma polare

 Oltre all'equazione cartesiana, ossia alla scrittura come luogo di zeri di un polinomio di secondo grado, una conica può essere espressa in coordinate polari come segue.

Sia un punto fisso, detto fuoco, e sia una retta fissata, chiamata direttrice. Senza ledere la generalità del discorso, possiamo supporre che il fuoco sia l'origine di un sistema di coordinate cartesiane e che, nel sistema suddetto, la retta abbia equazione . Una conica può allora essere definita come il luogo dei punti del piano tali che il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice sia una costante fissata , chiamata eccentricità. In simboli, utilizzando le notazioni in figura 1:

(1) 

Figura 1

Figura 1
Riscrivendo l'equazione (1) in coordinate polari, si ottiene:

(2) ,

ovvero:

(3) ,

dove viene detto il parametro della conica. Una conica in forma polare è quindi individuata dalla coppia : in particolare, l'eccentricità è sufficiente per classificare ogni conica dal punto di vista euclideo. Si ha infatti che:
  • le circonferenze hanno eccentricità nulla;
  • le ellissi hanno eccentricità compresa tra zero e uno;
  • le parabole hanno eccentricità uno;
  • le iperboli hanno eccentricità maggiore di uno.

Ellissi in forma polare

Vogliamo ora confrontare i parametri caratteristici dell'equazione cartesiana di un'ellisse (lunghezza del semiasse maggiore e lunghezza del semiasse minore ) con i parametri della medesima conica espressa in forma polare. Considerando il punto in figura 1, è noto che le lunghezze di e sono espresse da:

,

essendo la lunghezza del semiasse focale. Riscrivendo l'equazione (1) per il punto , si ottiene:

,

da cui:

(4) 

Nel calcolo si sono utilizzate le note relazioni e . Sulla base della (4) si può quindi assumere che:

(5)    

   

Si osservi che tali espressioni sono coerenti con le limitazioni e .

Le leggi di Keplero

PRIMA LEGGE DI KEPLERO La prima legge di Keplero afferma che le orbite di un pianeta che gravita intorno al Sole sono ellittiche; in particolare, il Sole occupa uno dei due fuochi. In termini analitici, in un sistema di riferimento polare con centro il perielio dell'orbita, le traiettorie planetarie sono espresse da:

,

dove:

(6)       ,

essendo l'energia meccanica e il modulo del momento angolare in direzione perpendicolare al piano orbitale. Entrambi i valori sono costanti caratteristiche del moto per il principio di conservazione dell'energia meccanica e per la seconda equazione della dinamica: infatti le forze del sistema sono tutte forze centrali contenute nel piano orbitale. Inoltre, poiché di norma si assume che l'energia meccanica sia negativa (condizione di "sistema legato"), si evince immediatamente che l'eccentricità soddisfa la condizione . SECONDA LEGGE DI KEPLERO La velocità areolare (intesa come l'area spazzata dal raggio vettore nell'unità di tempo) è una costante del moto. Infatti si può dimostrare che il modulo della velocità areolare è data da:

(7) 

TERZA LEGGE DI KEPLERO La terza legge di Keplero, detta anche "legge dei periodi", afferma che il quadrato del periodo orbitale è direttamente proporzionale al cubo della lunghezza del semiasse maggiore. Tale risultato si ottiene combinando le equazioni (5), (6) e (7). Infatti si ha che:

(8)   

Si ottiene cioè che la lunghezza del semiasse maggiore dipende solo dall'energia meccanica del sistema, mentre la lunghezza del semiasse minore dipende anche dal momento angolare. Ricordando quindi che il periodo è dato da:

,

sostituiamo nella precedente le relazioni (8), ricavando che:

Tale risultato dimostra il legame di proporzionalità descritto in precedenza.