Bimédianes d'un tétraèdre orthocentrique

• Un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.[br] • Un tétraèdre orthocentrique ABCD a ses arêtes opposées orthogonales deux à deux.[br] • La somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour chacune des trois paires d'arêtes opposées :[br] AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA².[br][br]Trois points B, C et D dans le PlanxOy.[br]H orthocentre de BCD : H = TriangleCentre[B,C,D,4][br]A un point sur la perpendiculaire à PlanxOy passant par H[br]ABCD est un tétraèdre orthocentrique de base BCD et de sommet A.[br][br]Dans ce tétraèdre on appelle B', C', D', I, J et K les milieux des arêtes.[br][br]a. Déterminer la nature du quadrilatère IJB'C'.[br]b. Démontrer que les trois bimédianes, segments ayant pour extrémités les milieux des arêtes opposées, ont même longueur [i]a[/i].[br]c. Démontrer que la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est égale à 4[i]a[/i]².[br][br]Les bimédianes sont concourantes en G, centre de gravité du tétraèdre.
[i]Section plane du tétraèdre[/i][br]Cliquer sur la case à cocher[br]Montrer que le plan (IJB') est parallèle aux arêtes orthogonales [AD] et [BC].[br]La section plane IJB'C' est un rectangle dont les longueurs des côtés sont égales à la moitié de AD ou BC.[br][br][i]Indications[/i][br]a.IJB'C' est un rectangle car les côtés sont deux à deux parallèles et égaux à la moitiés des arêtes orthogonales (AD) et (BC).[br]b. Les diagonales d'un rectangle sont égales : IB' = JC' = KD' = [i]a[/i].[br]c. AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA² = 4[i]a[/i]² (nombres a2, a3 et a4 dans GeoGebra).[br][br][i]voir les calculs dans la page[/i][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogebra_3D_tetraedre.html#ch2]Tétraèdre avec GeoGebra 3D[/url]

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