内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
内分外分からメネラウスの定理へ
実際には、これらの図を順番にたどったのではなくて、むしろ逆で、
極と極線を調べていたら、チェバの定理に至り、さらに調和列点に至り、それは内分と外分だった。
その作図を調べていたら、結局メネラウスの定理になった。
そして、それはチェバの定理の証明だった。
まとめると、
メネラウスの定理→チェバの定理→内分外分→チェバ→と循環している。
内分と外分の関係。ただし、Ｂ’は作図でも出せる。この作図にはメネラウスの定理やチェバの定理が見える。
内分外分からメネラウスの定理へ
内分と外分の関係を式に表すと、・・・(1)
メネラウスの定理は・・・(2)
(1)を(2)に代入すると、
となり、これはチェバの定理を示している。
メネラウスの定理。調和共役点とは内分点と外分点のこと。
メネラウスの定理の証明
△AEF∽△CKFより、AE:CK=FA:CFだから、・・・(1)
△EBD∽△CKDより、EB:BD=KC:CDだから、・・・(2)
(1)×(2)から、
ＣＫを約分するとメネラウスの定理が出てくる。
チェバの定理
チェバの定理の証明
△ＡＢＦと△ＡＦＣについてメネラウスの定理を当てはめる。
・・・(1)
・・・(2)
なので、(1)(2)をかけ合わせて、約分すると これはチェバの定理。
さらに、ＥＧとＢＣの交点をＨとすると、
メネラウスの定理により
これとチェバの定理をかけ合わせると、
となって、内分と外分の関係が導かれる。
真ん中の点は何か？
これらの図で気になるのが、真ん中の交点。
それは、これらの三角形の極だった。
この極から極線が出てくる。