Die absolute Invariante J(z)
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Die absolute Invariante berechnet sich aus dem Doppelverhältnis :
(im Applet ist ).
- ist reell und nicht-negativ, wenn auf einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis liegt.
Die Punkte sind dann konzyklisch.
- ist reell und es ist , wenn z auf einer der Winkelhalbierenden-Kreise liegt.
Zwei der Punkte liegen dann spiegelbildlich zu den anderen auf zwei orthogonalen Kreisen.
Die meromorphe Funktion besitzt die 6 vierfachen Pole und
die 12 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden-Kreise mit den Achsen als doppelte Nullstellen.
In diesen Punkten liegen in harmonischer Lage (bei geeigneter Reihenfolge!).
bildet das Kreisdreieck 1, H, T1 auf die obere Halbebene ab:
Der Kreisbogen H ... 1 wird auf das Intervall , die Strecke T1 ... H auf das Intervall
und der Kreisbogen 1 ... T1 auf das Intervall abgebildet.
Die Schnittpunkte des orthogonalen Gitters im Kreisdreieck werden von auf die obere Halbebene
und mit der angegebenen Möbiustransformation ins Innere des Einheitskreises abgebildet.
Leider ist es nicht gelungen, die Bilder der Kreisabschnitte unter J einzuzeichnen: der Rechenaufwand scheint zu hoch zu sein!
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