Exponentialfunktion - Parameter a und b, Eigenschaften

  • Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kann man die Auswirkungen der Parameter a und b der Exponentialfunktion untersuchen.
  • Die Beziehung der Funktionswerte zweier aufeinander folgender "Schritte" über den Wachstumsfaktor a ist ebenfalls darstellbar.
  • Wie kann man aus dem Graphen b ermitteln?
  • Wie kann man aus dem Graphen a ermitteln?
  • Gibt es eine Funktion g, deren Graph zu dem von f symmetrisch ist?
1. Graph beim exponentiellen Wachstum [list = a]
  • Lasse Dir den Graphen anzeigen, in dem Du die Parameter a und b der Funktion auf die Zahlenwerte das Beispiels „Rotalgen“ mit Hilfe der Schieberegler einstellst. Welchen Wert muss man also für a (=Wachstumsfaktor) einstellen, welchen für b (=Anfangswert)?
  • Vergleiche die Funktionswerte mit denen Deiner Wertetabelle und überprüfe den von Dir gezeichneten Funktionsgraphen. [/list] 2. Allgemeine Exponentialfunktion [list = a]
  • Variiere nun die Paramter a und b (dabei soll a>0 bleiben). Beobachte dabei den jeweiligen Graphen: Welchen Wert der beiden Parameter kann man an welcher Stelle des Graphen direkt ablesen? Wie lautet der zugehörige x-Wert?
  • Wähle ein bestimmtes Wertepaar für a und b. Schreibe den zugehörigen Funktionsterm ins Heft.
  • Setze in diesen Funktionsterm nun den x-Wert aus Aufgabe 2a ein und bestimme den zugehörigen Funktionswert. Welchem Wert entspricht dieser Funktionswert?
  • Gilt das Ergebnis aus Aufgabe 2c für alle Wertepaare a und b? Begründung?
  • Wähle a so, das gilt: 0<a<1. Um was für ein Wachstum handelt es sich nun?
  • Wähle a=1. Um was für ein Wachstum handelt es sich jetzt? Versuche Deine Beobachtung mathematisch zu erklären.
  • Stelle nun einen negativen Wert für a ein. Wie verändert sich der Graph? Versuche Deine Beobachtung mathematisch zu begründen.
  • Was ergibt sich aus der Beobachtung von oben für gültige Werte von a für die Definition der allgemeinen Exponentialfunktion der Form ?
  • Gibt es für b eine Einschränkung? - welche? [/list] 3. Wachstumsfaktor a – aufeinander folgende Schritte Aktiviere die gleichnamige Checkbox und wähle a=2 und b=2 . Es werden zwei Punkte (A und C) auf der x-Achse angezeigt, sowie deren zugehörige Funktionswerte auf der y-Achse. [list = a]
  • Schiebe den Punkt A mit Hilfe des Schiebereglers auf den Ursprung. Lese die Funktionswerte der Punkte A und C auf der y-Achse ab und notiere sie. Ermittle daraus den Wachstumsfaktor.
  • Verschiebe den Punkt A auf einen beliebigen Wert und lese die Funktionswerte für die Punkte A und C ab. Ermittle wieder den Wachstumsfaktor. Vergleiche mit dem Erbnis aus 3a. Aktiviere nun die Checkbox „a * f(x-1) = f(x)“
  • Variiere die Werte für a und b, sowie die Position von Punkt A. Kontrolliere fortwährend die Beziehung und formuliere diesen Ausdruck in Worten! [/list] 4. Bedeutung x-Wert = 1 Wähle a = 3, b = 2 und x-Wert Punkt A = 1.
    1. Setze die Werte für x, f(x) und b in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach a auf. Berechne das Ergebnis. Vergleiche diesen Wert mit dem eingestellten Wert für a!
    2. Gilt das Ergebnis aus 4a auch für andere Kombinationen aus a und b?
    5. Symmetrie
    • Aktiviere die Checkbox und deaktivere „Wachstumsfaktor...“
    • Wähle a = 2, b = 1,5
    1. Passe den Graphen der Funktion mit Hilfe der Schieberegler m und so an, dass er zum Graphen der Funktion f achsensymmetrisch bzgl der Y-Achse ist. Versuche einen Zusemmenhang zwischen b und n sowie a und m zu finden
    2. Variiere die Werte von a, b, m, und n und überprüfe den in 5 a gefundenen Zusammenhang.