Függvény folytonossága 4. (exponenciális függvény)
Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:
Az függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy pontjában, ha tetszőleges -hoz létezik olyan melyre, ha , akkor .
Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.
Adott az , ∈ függvény.
Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.
1. feladat
Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. feladat
Állítsd be értékét 1-re!
Határozd meg azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb -nal térnek el -tól!
Állítsd be értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre!
Olvasd le a hozzájuk tartozó értékeket!
3. feladat
Tudsz-e tetszőleges -hoz -t adni?
Folytonos-e ebben a pontban a függvény?
4. feladat
Változtasd értékét! Mit tapasztalsz?
5. feladat
Állítsd be értékét 0-ra! Mit mondhatsz itt a függvényről?
6. feladat
Folytonos-e az függvény ezek után?
7. feladat
Milyen értéket kell rendelnünk az -hoz, ha a függvény értelmezési tartományát ki akarjuk terjeszteni úgy, hogy továbbra is folytonos maradjon?
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.
Heine-féle definíció:
Az függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy pontjában, ha bármely esetén