Círculo incentro-exincentro
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema:
- Círculo
En cualquier triángulo, el incentro, el exincentro correspondiente a un lado y los extremos de ese lado son concíclicos. El centro de ese círculo es el punto medio del arco correspondiente al lado.
Las bisectrices exteriores de los vértices A y B, son perpendiculares a las interiores, y se cortan con la bisectriz del vértice C en el exincentro IC.
Por tanto, los puntos A, I, B y IC son concíclicos y IIC es un diámetro.
El ángulo que forman las bisectrices de los vértices A y B en I es 90° + γ/2, pues α/2 + β/2 + γ/2 = 90°, y las bisectrices exteriores en IC forman el ángulo complementario, 90° - γ/2.
F es el punto medio del arco AB de la circunferencia circunscrita al △ABC. El cuadrilátero FBCA es cíclico, por lo que ∠BFA = 180° - γ = 2∠BI_CA es el ángulo central que subtiende el lado AB. Por otra parte, F también está en la bisectriz, pues divide al arco AB por la mitad. Por tanto F es el centro del círculo AIBI_C, y F es el punto medio de IIC.
F también está en la mediatriz de AB. Para un triángulo no isósceles esto valdría para argumentar, conjuntamente con su pertenencia a la bisectriz, que es el centro de la circunferencia, pero este argumento falla si el triángulo es isósceles