wat zijn Johnson lichamen?

Auteur:
chris cambré
Onderwerp:
Lichamen

nog een categorie veelvlakken

Een Johnson lichaam is een strikt convex veelvlak, waarvan elk zijvlak een regelmatige veelhoek is, en dat geen regelmatig veelvlak (platonisch lichaam), archimedisch lichaam, prisma of antiprisma is. Elk zijvlak hoeft niet uit eenzelfde type veelhoek bestaan en evenmin moeten de hoekpunten congruent zijn. Zoals in elk strikt convex lichaam, komen in elk hoekpunt ten minste drie zijvlakken bij elkaar en is het totaal van hun hoeken minder dan 360 graden. Aangezien een regelmatige veelhoek hoeken heeft van ten minste 60 graden, kunnen in elk hoekpunt ten hoogste vijf zijvlakken bij elkaar komen. Omdat het uit regelmatige veelhoeken bestaat en die veelhoeken aan elkaar grenzen, zijn ook alle ribben van een Johnson lichaam even lang. In de praktijk blijkt dat de zijvlakken van Johnson-lichamen altijd 3, 4, 5, 6, 8 of 10 zijden hebben. In 1966 publiceerde Norman Johnson een lijst met 92 lichamen en gaf deze hun namen en nummers. Drie jaar later werd ook effectief bewezen dat er precies 92 lichamen te bedenken zijn die aan de voorwaarden voldoen.

spelen met gekende vormen

Sommige Johnson lichamen hebben heen andere vormen dan de Platonische of de Archimedische lichamen. In andere herken je heel duidelijk Platonische lichamen, Archimedische lichamen, prisma's of anti-prisma's. Maar Johnson doet er telkens net iets extra mee, zodat hij er een nieuwe categorie moest voor uitvinden.
Een vijfhoekige koepel heeft een vijfhoekig bovenvlak en een tienhoekig grondvlak. De zijvlakken zijn 5 vierkanten en 5 gelijkzijdige driehoeken, die elkaar afwisselen.
Een vijfhoekige koepel heeft een vijfhoekig bovenvlak en een tienhoekig grondvlak. De zijvlakken zijn 5 vierkanten en 5 gelijkzijdige driehoeken, die elkaar afwisselen.
Plaats je een vijfhoekige koepel op het bovenvlak van een 10-hoekig regelmatig prisma, dan krijg je een nieuw lichaam uit de reeks: een 'verlengde vijfhoekige koepel'. En uiteraard kan je tegen het grondvlak van het prisma nog eens een vijfhoekige koepel plaatsen. Dat wordt dan een 'verlengde vijfhoekige dubbelkoepel'. Of je kunt de koepel op een anti-prisma plaatsen i.p.v. op een prisma. Zo merk je dat je vanuit één basislichaam snel verschillende andere Johnson lichamen kunt afleiden... tot je aan 92 komt.
Plaats je een vijfhoekige koepel op het bovenvlak van een 10-hoekig regelmatig prisma, dan krijg je een nieuw lichaam uit de reeks: een 'verlengde vijfhoekige koepel'. En uiteraard kan je tegen het grondvlak van het prisma nog eens een vijfhoekige koepel plaatsen. Dat wordt dan een 'verlengde vijfhoekige dubbelkoepel'. Of je kunt de koepel op een anti-prisma plaatsen i.p.v. op een prisma. Zo merk je dat je vanuit één basislichaam snel verschillende andere Johnson lichamen kunt afleiden... tot je aan 92 komt.

Nieuw didactisch materiaal

Ontdek materiaal

Ontdek onderwerpen